Trojuholník 13 14 23

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 13
b = 14
c = 23

Obsah trojuholníka: S = 81,24403840464
Obvod trojuholníka: o = 50
Semiperimeter (poloobvod): s = 25

Uhol ∠ A = α = 30,30547140565° = 30°18'17″ = 0,52989170392 rad
Uhol ∠ B = β = 32,9166344351° = 32°54'59″ = 0,57444985866 rad
Uhol ∠ C = γ = 116,77989415925° = 116°46'44″ = 2,03881770278 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 12,49985206225
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 11,60657691495
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 7,06443812214

Ťažnica: t_a = 17,89655301682
Ťažnica: t_b = 17,32105080757
Ťažnica: t_c = 7,08987234394

Polomer vpísanej kružnice: r = 3,25496153619
Polomer opísanej kružnice: R = 12,8821524531

Súradnice vrcholov: A[23; 0] B[0; 0] C[10,91330434783; 7,06443812214]
Ťažisko: T[11,30443478261; 2,35547937405]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[11,5; -5,80437637997]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[11; 3,25496153619]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 149,69552859435° = 149°41'43″ = 0,52989170392 rad
∠ B' = β' = 147,0843655649° = 147°5'1″ = 0,57444985866 rad
∠ C' = γ' = 63,22110584075° = 63°13'16″ = 2,03881770278 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 13 b = 14 c = 23

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 13 + 14 + 23 = 50

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 0}{2} = 25

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 25 (25 - 13) (25 - 14) (25 - 23) S = 6600 = 81, 24

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 8 1 , 2 4}{1 3} = 12, 5 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 8 1 , 2 4}{1 4} = 11, 61 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 8 1 , 2 4}{2 3} = 7, 06

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 4 ^{2} + 2 3 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2 \cdot 1 4 \cdot 2 3}) = 30 ° 1 8^{'} 17 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 3 ^{2} + 2 3 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2 \cdot 1 3 \cdot 2 3}) = 32 ° 5 4^{'} 59 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 30 ° 1 8^{'} 17 " - 32 ° 5 4^{'} 59 " = 116 ° 4 6^{'} 44 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{8 1 , 2 4}{2 5} = 3, 25

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 3 \cdot 1 4 \cdot 2 3}{4 \cdot 3 , 2 5 \cdot 2 5} = 12, 88

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 4 ^{2} + 2 \cdot 2 3 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2} = 17, 896 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 3 ^{2} + 2 \cdot 1 3 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2} = 17, 321 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 3 ^{2} + 2 \cdot 1 4 ^{2} - 2 3 ^{2}}{2} = 7, 089

Vypočítať ďaľší trojuholník