Trojuholník 13 14 23
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 13
b = 14
c = 23
Obsah trojuholníka: S = 81,24403840464
Obvod trojuholníka: o = 50
Semiperimeter (poloobvod): s = 25
Uhol ∠ A = α = 30,30547140565° = 30°18'17″ = 0,52989170392 rad
Uhol ∠ B = β = 32,9166344351° = 32°54'59″ = 0,57444985866 rad
Uhol ∠ C = γ = 116,77989415925° = 116°46'44″ = 2,03881770278 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 12,49985206225
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 11,60657691495
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 7,06443812214
Ťažnica: ta = 17,89655301682
Ťažnica: tb = 17,32105080757
Ťažnica: tc = 7,08987234394
Polomer vpísanej kružnice: r = 3,25496153619
Polomer opísanej kružnice: R = 12,8821524531
Súradnice vrcholov: A[23; 0] B[0; 0] C[10,91330434783; 7,06443812214]
Ťažisko: T[11,30443478261; 2,35547937405]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[11,5; -5,80437637997]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[11; 3,25496153619]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 149,69552859435° = 149°41'43″ = 0,52989170392 rad
∠ B' = β' = 147,0843655649° = 147°5'1″ = 0,57444985866 rad
∠ C' = γ' = 63,22110584075° = 63°13'16″ = 2,03881770278 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=13 b=14 c=23
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=13+14+23=50
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=250=25
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=25(25−13)(25−14)(25−23) S=6600=81,24
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=132⋅ 81,24=12,5 vb=b2 S=142⋅ 81,24=11,61 vc=c2 S=232⋅ 81,24=7,06
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 14⋅ 23142+232−132)=30°18′17" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 13⋅ 23132+232−142)=32°54′59" γ=180°−α−β=180°−30°18′17"−32°54′59"=116°46′44"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=2581,24=3,25
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 3,25⋅ 2513⋅ 14⋅ 23=12,88
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 142+2⋅ 232−132=17,896 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 232+2⋅ 132−142=17,321 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 132+2⋅ 142−232=7,089
Vypočítať ďaľší trojuholník