Trojuholník 13 15 25
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 13
b = 15
c = 25
Obsah trojuholníka: S = 78,55769061254
Obvod trojuholníka: o = 53
Semiperimeter (poloobvod): s = 26,5
Uhol ∠ A = α = 24,77695868266° = 24°46'11″ = 0,43223108445 rad
Uhol ∠ B = β = 28,90994725423° = 28°54'34″ = 0,50545654809 rad
Uhol ∠ C = γ = 126,32109406312° = 126°19'15″ = 2,20547163282 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 12,08656778655
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 10,47442541501
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 6,285455249
Ťažnica: ta = 19,56439975465
Ťažnica: tb = 18,4599414942
Ťažnica: tc = 6,38435726674
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,96444115519
Polomer opísanej kružnice: R = 15,51442311493
Súradnice vrcholov: A[25; 0] B[0; 0] C[11,38; 6,285455249]
Ťažisko: T[12,12766666667; 2,095485083]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[12,5; -9,18991984499]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[11,5; 2,96444115519]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 155,23304131734° = 155°13'49″ = 0,43223108445 rad
∠ B' = β' = 151,09105274577° = 151°5'26″ = 0,50545654809 rad
∠ C' = γ' = 53,67990593689° = 53°40'45″ = 2,20547163282 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=13 b=15 c=25
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=13+15+25=53
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=253=26,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=26,5(26,5−13)(26,5−15)(26,5−25) S=6171,19=78,56
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=132⋅ 78,56=12,09 vb=b2 S=152⋅ 78,56=10,47 vc=c2 S=252⋅ 78,56=6,28
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 15⋅ 25152+252−132)=24°46′11" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 13⋅ 25132+252−152)=28°54′34" γ=180°−α−β=180°−24°46′11"−28°54′34"=126°19′15"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=26,578,56=2,96
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,964⋅ 26,513⋅ 15⋅ 25=15,51
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 152+2⋅ 252−132=19,564 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 252+2⋅ 132−152=18,459 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 132+2⋅ 152−252=6,384
Vypočítať ďaľší trojuholník