Trojuholník 13 16 20

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 13
b = 16
c = 20

Obsah trojuholníka: S = 103,81220296497
Obvod trojuholníka: o = 49
Semiperimeter (poloobvod): s = 24,5

Uhol ∠ A = α = 40,4533084335° = 40°27'11″ = 0,70660395142 rad
Uhol ∠ B = β = 52,99222476015° = 52°59'32″ = 0,92548891987 rad
Uhol ∠ C = γ = 86,55546680635° = 86°33'17″ = 1,51106639407 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 15,97110814846
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 12,97765037062
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 10,3811202965

Ťažnica: t_a = 16,90441415044
Ťažnica: t_b = 14,84992424049
Ťažnica: t_c = 10,60766017178

Polomer vpísanej kružnice: r = 4,23772257
Polomer opísanej kružnice: R = 10,01881067985

Súradnice vrcholov: A[20; 0] B[0; 0] C[7,825; 10,3811202965]
Ťažisko: T[9,275; 3,46604009883]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[10; 0,60220496874]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[8,5; 4,23772257]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 139,5476915665° = 139°32'49″ = 0,70660395142 rad
∠ B' = β' = 127,00877523985° = 127°28″ = 0,92548891987 rad
∠ C' = γ' = 93,44553319365° = 93°26'43″ = 1,51106639407 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 13 b = 16 c = 20

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 13 + 16 + 20 = 49

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 9}{2} = 24, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 24, 5 (24, 5 - 13) (24, 5 - 16) (24, 5 - 20) S = 10776, 94 = 103, 81

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 0 3 , 8 1}{1 3} = 15, 97 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 0 3 , 8 1}{1 6} = 12, 98 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 0 3 , 8 1}{2 0} = 10, 38

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 6 ^{2} + 2 0 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2 \cdot 1 6 \cdot 2 0}) = 40 ° 2 7^{'} 11 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 3 ^{2} + 2 0 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2 \cdot 1 3 \cdot 2 0}) = 52 ° 5 9^{'} 32 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 40 ° 2 7^{'} 11 " - 52 ° 5 9^{'} 32 " = 86 ° 3 3^{'} 17 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 0 3 , 8 1}{2 4 , 5} = 4, 24

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 3 \cdot 1 6 \cdot 2 0}{4 \cdot 4 , 2 3 7 \cdot 2 4 , 5} = 10, 02

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 6 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2} = 16, 904 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 1 3 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2} = 14, 849 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 3 ^{2} + 2 \cdot 1 6 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 10, 607

Vypočítať ďaľší trojuholník