Trojuholník 13 17 21
Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 13
b = 17
c = 21
Obsah trojuholníka: S = 110,41882389825
Obvod trojuholníka: o = 51
Semiperimeter (poloobvod): s = 25,5
Uhol ∠ A = α = 38,21332107017° = 38°12'48″ = 0,66769463445 rad
Uhol ∠ B = β = 53,99110168022° = 53°59'28″ = 0,94223210097 rad
Uhol ∠ C = γ = 87,7965772496° = 87°47'45″ = 1,53223252994 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 16,98774213819
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 12,99903810568
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 10,51660227602
Ťažnica: ta = 17,96552442232
Ťažnica: tb = 15,25661463024
Ťažnica: tc = 10,89772473589
Polomer vpísanej kružnice: r = 4,33301270189
Polomer opísanej kružnice: R = 10,50877748993
Súradnice vrcholov: A[21; 0] B[0; 0] C[7,64328571429; 10,51660227602]
Ťažisko: T[9,54876190476; 3,50553409201]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[10,5; 0,40441451884]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[8,5; 4,33301270189]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 141,78767892983° = 141°47'12″ = 0,66769463445 rad
∠ B' = β' = 126,00989831978° = 126°32″ = 0,94223210097 rad
∠ C' = γ' = 92,2044227504° = 92°12'15″ = 1,53223252994 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=13 b=17 c=21
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=13+17+21=51
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=251=25,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=25,5(25,5−13)(25,5−17)(25,5−21) S=12192,19=110,42
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=132⋅ 110,42=16,99 vb=b2 S=172⋅ 110,42=12,99 vc=c2 S=212⋅ 110,42=10,52
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 17⋅ 21172+212−132)=38°12′48" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 13⋅ 21132+212−172)=53°59′28" γ=180°−α−β=180°−38°12′48"−53°59′28"=87°47′45"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=25,5110,42=4,33
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 4,33⋅ 25,513⋅ 17⋅ 21=10,51
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 172+2⋅ 212−132=17,965 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 212+2⋅ 132−172=15,256 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 132+2⋅ 172−212=10,897
Vypočítať ďaľší trojuholník