Trojuholník 13.6 57 58.6
Pravouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 13,6
b = 57
c = 58,6
Obsah trojuholníka: S = 387,6
Obvod trojuholníka: o = 129,2
Semiperimeter (poloobvod): s = 64,6
Uhol ∠ A = α = 13,42196736155° = 13°25'11″ = 0,23442174891 rad
Uhol ∠ B = β = 76,58803263845° = 76°34'49″ = 1,33765788377 rad
Uhol ∠ C = γ = 90° = 1,57107963268 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 57
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 13,6
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 13,2298668942
Ťažnica: ta = 57,40441810324
Ťažnica: tb = 31,5798632016
Ťažnica: tc = 29,3
Polomer vpísanej kružnice: r = 6
Polomer opísanej kružnice: R = 29,3
Súradnice vrcholov: A[58,6; 0] B[0; 0] C[3,15663139932; 13,2298668942]
Ťažisko: T[20,58554379977; 4,4109556314]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[29,3; -0]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[7,6; 6]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 166,58803263845° = 166°34'49″ = 0,23442174891 rad
∠ B' = β' = 103,42196736155° = 103°25'11″ = 1,33765788377 rad
∠ C' = γ' = 90° = 1,57107963268 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=13,6 b=57 c=58,6
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=13,6+57+58,6=129,2
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=2129,2=64,6
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=64,6(64,6−13,6)(64,6−57)(64,6−58,6) S=150233,76=387,6
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=13,62⋅ 387,6=57 vb=b2 S=572⋅ 387,6=13,6 vc=c2 S=58,62⋅ 387,6=13,23
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 57⋅ 58,6572+58,62−13,62)=13°25′11" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 13,6⋅ 58,613,62+58,62−572)=76°34′49" γ=180°−α−β=180°−13°25′11"−76°34′49"=90°
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=64,6387,6=6
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 6⋅ 64,613,6⋅ 57⋅ 58,6=29,3
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 572+2⋅ 58,62−13,62=57,404 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 58,62+2⋅ 13,62−572=31,579 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 13,62+2⋅ 572−58,62=29,3
Vypočítať ďaľší trojuholník