Trojuholník 14 15 16
Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 14
b = 15
c = 16
Obsah trojuholníka: S = 96,55879489219
Obvod trojuholníka: o = 45
Semiperimeter (poloobvod): s = 22,5
Uhol ∠ A = α = 53,57664263577° = 53°34'35″ = 0,93550850414 rad
Uhol ∠ B = β = 59,55659700416° = 59°33'21″ = 1,03994477664 rad
Uhol ∠ C = γ = 66,86876036007° = 66°52'3″ = 1,16770598458 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 13,79439927031
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 12,87443931896
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 12,07697436152
Ťažnica: ta = 13,83883525031
Ťažnica: tb = 13,02988142208
Ťažnica: tc = 12,10437184369
Polomer vpísanej kružnice: r = 4,29114643965
Polomer opísanej kružnice: R = 8,69994391387
Súradnice vrcholov: A[16; 0] B[0; 0] C[7,094375; 12,07697436152]
Ťažisko: T[7,69879166667; 4,02332478717]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[8; 3,41876368045]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[7,5; 4,29114643965]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 126,42435736423° = 126°25'25″ = 0,93550850414 rad
∠ B' = β' = 120,44440299584° = 120°26'39″ = 1,03994477664 rad
∠ C' = γ' = 113,13223963993° = 113°7'57″ = 1,16770598458 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=14 b=15 c=16
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=14+15+16=45
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=245=22,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=22,5(22,5−14)(22,5−15)(22,5−16) S=9323,44=96,56
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=142⋅ 96,56=13,79 vb=b2 S=152⋅ 96,56=12,87 vc=c2 S=162⋅ 96,56=12,07
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 15⋅ 16152+162−142)=53°34′35" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 14⋅ 16142+162−152)=59°33′21" γ=180°−α−β=180°−53°34′35"−59°33′21"=66°52′3"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=22,596,56=4,29
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 4,291⋅ 22,514⋅ 15⋅ 16=8,7
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 152+2⋅ 162−142=13,838 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 162+2⋅ 142−152=13,029 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 142+2⋅ 152−162=12,104
Vypočítať ďaľší trojuholník