Trojuholník 14 22.5 26.5
Pravouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 14
b = 22,5
c = 26,5
Obsah trojuholníka: S = 157,5
Obvod trojuholníka: o = 63
Semiperimeter (poloobvod): s = 31,5
Uhol ∠ A = α = 31,89107918018° = 31°53'27″ = 0,5576599318 rad
Uhol ∠ B = β = 58,10992081982° = 58°6'33″ = 1,01441970088 rad
Uhol ∠ C = γ = 90° = 1,57107963268 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 22,5
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 14
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 11,88767924528
Ťažnica: ta = 23,56437433359
Ťažnica: tb = 17,96600250557
Ťažnica: tc = 13,25
Polomer vpísanej kružnice: r = 5
Polomer opísanej kružnice: R = 13,25
Súradnice vrcholov: A[26,5; 0] B[0; 0] C[7,39662264151; 11,88767924528]
Ťažisko: T[11,29987421384; 3,96222641509]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[13,25; -0]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[9; 5]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 148,10992081982° = 148°6'33″ = 0,5576599318 rad
∠ B' = β' = 121,89107918019° = 121°53'27″ = 1,01441970088 rad
∠ C' = γ' = 90° = 1,57107963268 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=14 b=22,5 c=26,5
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=14+22,5+26,5=63
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=263=31,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=31,5(31,5−14)(31,5−22,5)(31,5−26,5) S=24806,25=157,5
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=142⋅ 157,5=22,5 vb=b2 S=22,52⋅ 157,5=14 vc=c2 S=26,52⋅ 157,5=11,89
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 22,5⋅ 26,522,52+26,52−142)=31°53′27" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 14⋅ 26,5142+26,52−22,52)=58°6′33" γ=180°−α−β=180°−31°53′27"−58°6′33"=90°
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=31,5157,5=5
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 5⋅ 31,514⋅ 22,5⋅ 26,5=13,25
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 22,52+2⋅ 26,52−142=23,564 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 26,52+2⋅ 142−22,52=17,96 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 142+2⋅ 22,52−26,52=13,25
Vypočítať ďaľší trojuholník