Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 14
b = 9,8
c = 10,9

Obsah trojuholníka: S = 53,20216958729
Obvod trojuholníka: o = 34,7
Semiperimeter (poloobvod): s = 17,35

Uhol ∠ A = α = 84,93880654113° = 84°56'17″ = 1,48224489017 rad
Uhol ∠ B = β = 44,20883786468° = 44°12'30″ = 0,77215817644 rad
Uhol ∠ C = γ = 50,85435559419° = 50°51'13″ = 0,88875619875 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 7.66002422676
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 10,85774889536
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 9,76217790592

Ťažnica: t_a = 7,64436247946
Ťažnica: t_b = 11,55496753201
Ťažnica: t_c = 10,78550591097

Polomer vpísanej kružnice: r = 3,06663801656
Polomer opísanej kružnice: R = 7,02774075641

Súradnice vrcholov: A[10,9; 0] B[0; 0] C[10,03553211009; 9,76217790592]
Ťažisko: T[6,9788440367; 3,25439263531]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[5,45; 4,43664351761]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[7,55; 3,06663801656]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 95,06219345887° = 95°3'43″ = 1,48224489017 rad
∠ B' = β' = 135,79216213532° = 135°47'30″ = 0,77215817644 rad
∠ C' = γ' = 129,14664440581° = 129°8'47″ = 0,88875619875 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 14 b = 9, 8 c = 10, 9

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 14 + 9, 8 + 10, 9 = 34, 7

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 4 , 7}{2} = 17, 35

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 17, 35 (17, 35 - 14) (17, 35 - 9, 8) (17, 35 - 10, 9) S = 2830, 42 = 53, 2

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 5 3 , 2}{1 4} = 7, 6 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 5 3 , 2}{9 , 8} = 10, 86 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 5 3 , 2}{1 0 , 9} = 9, 76

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{9 , 8 ^{2} + 1 0 , 9 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2 \cdot 9 , 8 \cdot 1 0 , 9}) = 84 ° 5 6^{'} 17 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 4 ^{2} + 1 0 , 9 ^{2} - 9 , 8 ^{2}}{2 \cdot 1 4 \cdot 1 0 , 9}) = 44 ° 1 2^{'} 30 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 84 ° 5 6^{'} 17 " - 44 ° 1 2^{'} 30 " = 50 ° 5 1^{'} 13 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{5 3 , 2}{1 7 , 3 5} = 3, 07

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 4 \cdot 9 , 8 \cdot 1 0 , 9}{4 \cdot 3 , 0 6 6 \cdot 1 7 , 3 5} = 7, 03

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 , 8 ^{2} + 2 \cdot 1 0 , 9 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2} = 7, 644 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 , 9 ^{2} + 2 \cdot 1 4 ^{2} - 9 , 8 ^{2}}{2} = 11, 55 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 4 ^{2} + 2 \cdot 9 , 8 ^{2} - 1 0 , 9 ^{2}}{2} = 10, 785

Vypočítať ďaľší trojuholník