Trojuholník 142 142 190

Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 142
b = 142
c = 190

Obsah trojuholníka: S = 10026,4398799494
Obvod trojuholníka: o = 474
Semiperimeter (poloobvod): s = 237

Uhol ∠ A = α = 48,00989830931° = 48°32″ = 0,83879148255 rad
Uhol ∠ B = β = 48,00989830931° = 48°32″ = 0,83879148255 rad
Uhol ∠ C = γ = 83,98220338138° = 83°58'55″ = 1,46657630026 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 141,21774478802
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 141,21774478802
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 105,54114610473

Ťažnica: t_a = 151,9577230825
Ťažnica: t_b = 151,9577230825
Ťažnica: t_c = 105,54114610473

Polomer vpísanej kružnice: r = 42,3065648943
Polomer opísanej kružnice: R = 95,52664395618

Súradnice vrcholov: A[190; 0] B[0; 0] C[95; 105,54114610473]
Ťažisko: T[95; 35,18804870158]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[95; 10,01550214855]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[95; 42,3065648943]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 131,99110169069° = 131°59'28″ = 0,83879148255 rad
∠ B' = β' = 131,99110169069° = 131°59'28″ = 0,83879148255 rad
∠ C' = γ' = 96,01879661862° = 96°1'5″ = 1,46657630026 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 142 b = 142 c = 190

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 142 + 142 + 190 = 474

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 7 4}{2} = 237

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 237 (237 - 142) (237 - 142) (237 - 190) S = 100529475 = 10026, 44

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 0 0 2 6 , 4 4}{1 4 2} = 141, 22 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 0 0 2 6 , 4 4}{1 4 2} = 141, 22 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 0 0 2 6 , 4 4}{1 9 0} = 105, 54

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 4 2 ^{2} + 1 9 0 ^{2} - 1 4 2 ^{2}}{2 \cdot 1 4 2 \cdot 1 9 0}) = 48 ° 32 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 4 2 ^{2} + 1 9 0 ^{2} - 1 4 2 ^{2}}{2 \cdot 1 4 2 \cdot 1 9 0}) = 48 ° 32 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 48 ° 32 " - 48 ° 32 " = 83 ° 5 8^{'} 55 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 0 0 2 6 , 4 4}{2 3 7} = 42, 31

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 4 2 \cdot 1 4 2 \cdot 1 9 0}{4 \cdot 4 2 , 3 0 6 \cdot 2 3 7} = 95, 53

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 4 2 ^{2} + 2 \cdot 1 9 0 ^{2} - 1 4 2 ^{2}}{2} = 151, 957 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 9 0 ^{2} + 2 \cdot 1 4 2 ^{2} - 1 4 2 ^{2}}{2} = 151, 957 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 4 2 ^{2} + 2 \cdot 1 4 2 ^{2} - 1 9 0 ^{2}}{2} = 105, 541

Vypočítať ďaľší trojuholník