Trojuholník 15 17 18
Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 15
b = 17
c = 18
Obsah trojuholníka: S = 118,3221595662
Obvod trojuholníka: o = 50
Semiperimeter (poloobvod): s = 25
Uhol ∠ A = α = 50,6555112747° = 50°39'18″ = 0,88440985004 rad
Uhol ∠ B = β = 61,21877953194° = 61°13'4″ = 1,06884520891 rad
Uhol ∠ C = γ = 68,12770919336° = 68°7'38″ = 1,18990420641 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 15,77662127549
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 13,92201877249
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 13,14768439624
Ťažnica: ta = 15,81992920196
Ťažnica: tb = 14,22114626533
Ťažnica: tc = 13,26664991614
Polomer vpísanej kružnice: r = 4,73328638265
Polomer opísanej kružnice: R = 9,6988145073
Súradnice vrcholov: A[18; 0] B[0; 0] C[7,22222222222; 13,14768439624]
Ťažisko: T[8,40774074074; 4,38222813208]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[9; 3,6133034439]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[8; 4,73328638265]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 129,3454887253° = 129°20'42″ = 0,88440985004 rad
∠ B' = β' = 118,78222046806° = 118°46'56″ = 1,06884520891 rad
∠ C' = γ' = 111,87329080664° = 111°52'22″ = 1,18990420641 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=15 b=17 c=18
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=15+17+18=50
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=250=25
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=25(25−15)(25−17)(25−18) S=14000=118,32
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=152⋅ 118,32=15,78 vb=b2 S=172⋅ 118,32=13,92 vc=c2 S=182⋅ 118,32=13,15
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 17⋅ 18172+182−152)=50°39′18" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 15⋅ 18152+182−172)=61°13′4" γ=180°−α−β=180°−50°39′18"−61°13′4"=68°7′38"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=25118,32=4,73
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 4,733⋅ 2515⋅ 17⋅ 18=9,7
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 172+2⋅ 182−152=15,819 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 182+2⋅ 152−172=14,221 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 152+2⋅ 172−182=13,266
Vypočítať ďaľší trojuholník