Trojuholník 15 17 22
Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 15
b = 17
c = 22
Obsah trojuholníka: S = 127,27992206136
Obvod trojuholníka: o = 54
Semiperimeter (poloobvod): s = 27
Uhol ∠ A = α = 42,89334830421° = 42°53'37″ = 0,74986325067 rad
Uhol ∠ B = β = 50,47988036414° = 50°28'44″ = 0,8811021326 rad
Uhol ∠ C = γ = 86,62877133166° = 86°37'40″ = 1,51219388208 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 16,97105627485
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 14,97440259545
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 11,57108382376
Ťažnica: ta = 18,17327818454
Ťažnica: tb = 16.88002976164
Ťažnica: tc = 11,66219037897
Polomer vpísanej kružnice: r = 4,71440452079
Polomer opísanej kružnice: R = 11,01990806735
Súradnice vrcholov: A[22; 0] B[0; 0] C[9,54554545455; 11,57108382376]
Ťažisko: T[10,51551515152; 3,85769460792]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[11; 0,64881812161]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[10; 4,71440452079]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 137,10765169579° = 137°6'23″ = 0,74986325067 rad
∠ B' = β' = 129,52111963586° = 129°31'16″ = 0,8811021326 rad
∠ C' = γ' = 93,37222866834° = 93°22'20″ = 1,51219388208 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=15 b=17 c=22
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=15+17+22=54
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=254=27
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=27(27−15)(27−17)(27−22) S=16200=127,28
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=152⋅ 127,28=16,97 vb=b2 S=172⋅ 127,28=14,97 vc=c2 S=222⋅ 127,28=11,57
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 17⋅ 22172+222−152)=42°53′37" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 15⋅ 22152+222−172)=50°28′44" γ=180°−α−β=180°−42°53′37"−50°28′44"=86°37′40"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=27127,28=4,71
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 4,714⋅ 2715⋅ 17⋅ 22=11,02
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 172+2⋅ 222−152=18,173 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 222+2⋅ 152−172=16,8 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 152+2⋅ 172−222=11,662
Vypočítať ďaľší trojuholník