Trojuholník 15 18 26
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 15
b = 18
c = 26
Obsah trojuholníka: S = 131,21333282102
Obvod trojuholníka: o = 59
Semiperimeter (poloobvod): s = 29,5
Uhol ∠ A = α = 34,10770388766° = 34°6'25″ = 0,59552801265 rad
Uhol ∠ B = β = 42,2990422069° = 42°17'26″ = 0,73881071072 rad
Uhol ∠ C = γ = 103,60325390543° = 103°36'9″ = 1,80882054199 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 17,4955110428
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 14,579925869
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 10,09333329392
Ťažnica: ta = 21,06553744329
Ťažnica: tb = 19,22223827867
Ťažnica: tc = 10,27113192921
Polomer vpísanej kružnice: r = 4,44879094309
Polomer opísanej kružnice: R = 13,37551656477
Súradnice vrcholov: A[26; 0] B[0; 0] C[11,09661538462; 10,09333329392]
Ťažisko: T[12,36553846154; 3,36444443131]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[13; -3,14656408097]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[11,5; 4,44879094309]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 145,89329611234° = 145°53'35″ = 0,59552801265 rad
∠ B' = β' = 137,7109577931° = 137°42'34″ = 0,73881071072 rad
∠ C' = γ' = 76,39774609457° = 76°23'51″ = 1,80882054199 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=15 b=18 c=26
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=15+18+26=59
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=259=29,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=29,5(29,5−15)(29,5−18)(29,5−26) S=17216,94=131,21
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=152⋅ 131,21=17,5 vb=b2 S=182⋅ 131,21=14,58 vc=c2 S=262⋅ 131,21=10,09
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 18⋅ 26182+262−152)=34°6′25" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 15⋅ 26152+262−182)=42°17′26" γ=180°−α−β=180°−34°6′25"−42°17′26"=103°36′9"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=29,5131,21=4,45
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 4,448⋅ 29,515⋅ 18⋅ 26=13,38
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 182+2⋅ 262−152=21,065 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 262+2⋅ 152−182=19,222 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 152+2⋅ 182−262=10,271
Vypočítať ďaľší trojuholník