Trojuholník 15 25 30
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 15
b = 25
c = 30
Obsah trojuholníka: S = 187,08328693387
Obvod trojuholníka: o = 70
Semiperimeter (poloobvod): s = 35
Uhol ∠ A = α = 29,92664348666° = 29°55'35″ = 0,52223148218 rad
Uhol ∠ B = β = 56,25110114041° = 56°15'4″ = 0,98217653566 rad
Uhol ∠ C = γ = 93,82325537293° = 93°49'21″ = 1,63875124752 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 24,94443825785
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 14,96766295471
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 12,47221912892
Ťažnica: ta = 26,57553645318
Ťažnica: tb = 20,15656443707
Ťažnica: tc = 14,14221356237
Polomer vpísanej kružnice: r = 5,34552248382
Polomer opísanej kružnice: R = 15,03334448576
Súradnice vrcholov: A[30; 0] B[0; 0] C[8,33333333333; 12,47221912892]
Ťažisko: T[12,77877777778; 4,15773970964]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[15; -1,00222296572]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[10; 5,34552248382]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 150,07435651334° = 150°4'25″ = 0,52223148218 rad
∠ B' = β' = 123,74989885959° = 123°44'56″ = 0,98217653566 rad
∠ C' = γ' = 86,17774462707° = 86°10'39″ = 1,63875124752 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=15 b=25 c=30
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=15+25+30=70
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=270=35
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=35(35−15)(35−25)(35−30) S=35000=187,08
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=152⋅ 187,08=24,94 vb=b2 S=252⋅ 187,08=14,97 vc=c2 S=302⋅ 187,08=12,47
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 25⋅ 30252+302−152)=29°55′35" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 15⋅ 30152+302−252)=56°15′4" γ=180°−α−β=180°−29°55′35"−56°15′4"=93°49′21"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=35187,08=5,35
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 5,345⋅ 3515⋅ 25⋅ 30=15,03
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 252+2⋅ 302−152=26,575 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 302+2⋅ 152−252=20,156 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 152+2⋅ 252−302=14,142
Vypočítať ďaľší trojuholník