Trojuholník 15 27 29
Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 15
b = 27
c = 29
Obsah trojuholníka: S = 200,52197932873
Obvod trojuholníka: o = 71
Semiperimeter (poloobvod): s = 35,5
Uhol ∠ A = α = 30,80993733352° = 30°48'34″ = 0,53877250052 rad
Uhol ∠ B = β = 67,21098982792° = 67°12'36″ = 1,17330340149 rad
Uhol ∠ C = γ = 81,98107283856° = 81°58'51″ = 1,43108336335 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 26,73659724383
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 14,85333180213
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 13,82989512612
Ťažnica: ta = 26,99553699734
Ťažnica: tb = 18,72883208003
Ťažnica: tc = 16,33224829711
Polomer vpísanej kružnice: r = 5,64884448813
Polomer opísanej kružnice: R = 14,64331928333
Súradnice vrcholov: A[29; 0] B[0; 0] C[5,81103448276; 13,82989512612]
Ťažisko: T[11,60334482759; 4,61096504204]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[14,5; 2,04328157903]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[8,5; 5,64884448813]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 149,19106266648° = 149°11'26″ = 0,53877250052 rad
∠ B' = β' = 112,79901017208° = 112°47'24″ = 1,17330340149 rad
∠ C' = γ' = 98,01992716144° = 98°1'9″ = 1,43108336335 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=15 b=27 c=29
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=15+27+29=71
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=271=35,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=35,5(35,5−15)(35,5−27)(35,5−29) S=40208,19=200,52
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=152⋅ 200,52=26,74 vb=b2 S=272⋅ 200,52=14,85 vc=c2 S=292⋅ 200,52=13,83
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 27⋅ 29272+292−152)=30°48′34" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 15⋅ 29152+292−272)=67°12′36" γ=180°−α−β=180°−30°48′34"−67°12′36"=81°58′51"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=35,5200,52=5,65
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 5,648⋅ 35,515⋅ 27⋅ 29=14,64
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 272+2⋅ 292−152=26,995 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 292+2⋅ 152−272=18,728 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 152+2⋅ 272−292=16,332
Vypočítať ďaľší trojuholník