Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 158
b = 315
c = 453

Obsah trojuholníka: S = 14456,7770040365
Obvod trojuholníka: o = 926
Semiperimeter (poloobvod): s = 463

Uhol ∠ A = α = 11,69904899591° = 11°41'26″ = 0,2044037541 rad
Uhol ∠ B = β = 23,82664155017° = 23°49'35″ = 0,41658493995 rad
Uhol ∠ C = γ = 144,48330945393° = 144°28'59″ = 2,52217057132 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 182,99770891185
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 91,78990161293
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 63,82767992952

Ťažnica: t_a = 382,06880567648
Ťažnica: t_b = 300,4676720287
Ťažnica: t_c = 103,88657545576

Polomer vpísanej kružnice: r = 31,22441253572
Polomer opísanej kružnice: R = 389,88332508411

Súradnice vrcholov: A[453; 0] B[0; 0] C[144,53442163355; 63,82767992952]
Ťažisko: T[199,17880721118; 21,27655997651]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[226,5; -317,34331884986]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[148; 31,22441253572]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 168,31095100409° = 168°18'34″ = 0,2044037541 rad
∠ B' = β' = 156,17435844983° = 156°10'25″ = 0,41658493995 rad
∠ C' = γ' = 35,51769054607° = 35°31'1″ = 2,52217057132 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 158 b = 315 c = 453

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 158 + 315 + 453 = 926

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{9 2 6}{2} = 463

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 463 (463 - 158) (463 - 315) (463 - 453) S = 208998200 = 14456, 77

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 4 4 5 6 , 7 7}{1 5 8} = 183 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 4 4 5 6 , 7 7}{3 1 5} = 91, 79 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 4 4 5 6 , 7 7}{4 5 3} = 63, 83

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{3 1 5 ^{2} + 4 5 3 ^{2} - 1 5 8 ^{2}}{2 \cdot 3 1 5 \cdot 4 5 3}) = 11 ° 4 1^{'} 26 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 5 8 ^{2} + 4 5 3 ^{2} - 3 1 5 ^{2}}{2 \cdot 1 5 8 \cdot 4 5 3}) = 23 ° 4 9^{'} 35 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 11 ° 4 1^{'} 26 " - 23 ° 4 9^{'} 35 " = 144 ° 2 8^{'} 59 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 4 4 5 6 , 7 7}{4 6 3} = 31, 22

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 5 8 \cdot 3 1 5 \cdot 4 5 3}{4 \cdot 3 1 , 2 2 4 \cdot 4 6 3} = 389, 88

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 1 5 ^{2} + 2 \cdot 4 5 3 ^{2} - 1 5 8 ^{2}}{2} = 382, 068 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 4 5 3 ^{2} + 2 \cdot 1 5 8 ^{2} - 3 1 5 ^{2}}{2} = 300, 467 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 8 ^{2} + 2 \cdot 3 1 5 ^{2} - 4 5 3 ^{2}}{2} = 103, 886

Vypočítať ďaľší trojuholník