Trojuholník 158 315 453
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 158
b = 315
c = 453
Obsah trojuholníka: S = 14456,7770040365
Obvod trojuholníka: o = 926
Semiperimeter (poloobvod): s = 463
Uhol ∠ A = α = 11,69904899591° = 11°41'26″ = 0,2044037541 rad
Uhol ∠ B = β = 23,82664155017° = 23°49'35″ = 0,41658493995 rad
Uhol ∠ C = γ = 144,48330945393° = 144°28'59″ = 2,52217057132 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 182,99770891185
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 91,78990161293
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 63,82767992952
Ťažnica: ta = 382,06880567648
Ťažnica: tb = 300,4676720287
Ťažnica: tc = 103,88657545576
Polomer vpísanej kružnice: r = 31,22441253572
Polomer opísanej kružnice: R = 389,88332508411
Súradnice vrcholov: A[453; 0] B[0; 0] C[144,53442163355; 63,82767992952]
Ťažisko: T[199,17880721118; 21,27655997651]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[226,5; -317,34331884986]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[148; 31,22441253572]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 168,31095100409° = 168°18'34″ = 0,2044037541 rad
∠ B' = β' = 156,17435844983° = 156°10'25″ = 0,41658493995 rad
∠ C' = γ' = 35,51769054607° = 35°31'1″ = 2,52217057132 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=158 b=315 c=453
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=158+315+453=926
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=2926=463
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=463(463−158)(463−315)(463−453) S=208998200=14456,77
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=1582⋅ 14456,77=183 vb=b2 S=3152⋅ 14456,77=91,79 vc=c2 S=4532⋅ 14456,77=63,83
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 315⋅ 4533152+4532−1582)=11°41′26" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 158⋅ 4531582+4532−3152)=23°49′35" γ=180°−α−β=180°−11°41′26"−23°49′35"=144°28′59"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=46314456,77=31,22
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 31,224⋅ 463158⋅ 315⋅ 453=389,88
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 3152+2⋅ 4532−1582=382,068 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 4532+2⋅ 1582−3152=300,467 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 1582+2⋅ 3152−4532=103,886
Vypočítať ďaľší trojuholník