Trojuholník 16 21 26

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 16
b = 21
c = 26

Obsah trojuholníka: S = 167,91879487131
Obvod trojuholníka: o = 63
Semiperimeter (poloobvod): s = 31,5

Uhol ∠ A = α = 37,95880285807° = 37°57'29″ = 0,66224925763 rad
Uhol ∠ B = β = 53,83327560786° = 53°49'58″ = 0,9439558839 rad
Uhol ∠ C = γ = 88,20992153407° = 88°12'33″ = 1,54395412383 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 20,99897435891
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 15,99221855917
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 12,91767652856

Ťažnica: t_a = 22,23773559579
Ťažnica: t_b = 18,86113361139
Ťažnica: t_c = 13,3987761007

Polomer vpísanej kružnice: r = 5,33107285306
Polomer opísanej kružnice: R = 13,00663523092

Súradnice vrcholov: A[26; 0] B[0; 0] C[9,44223076923; 12,91767652856]
Ťažisko: T[11,81441025641; 4,30655884285]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[13; 0,40664485097]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[10,5; 5,33107285306]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 142,04219714193° = 142°2'31″ = 0,66224925763 rad
∠ B' = β' = 126,16772439214° = 126°10'2″ = 0,9439558839 rad
∠ C' = γ' = 91,79107846593° = 91°47'27″ = 1,54395412383 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 16 b = 21 c = 26

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 16 + 21 + 26 = 63

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{6 3}{2} = 31, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 31, 5 (31, 5 - 16) (31, 5 - 21) (31, 5 - 26) S = 28196, 44 = 167, 92

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 6 7 , 9 2}{1 6} = 20, 99 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 6 7 , 9 2}{2 1} = 15, 99 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 6 7 , 9 2}{2 6} = 12, 92

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 1 ^{2} + 2 6 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2 \cdot 2 1 \cdot 2 6}) = 37 ° 5 7^{'} 29 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 6 ^{2} + 2 6 ^{2} - 2 1 ^{2}}{2 \cdot 1 6 \cdot 2 6}) = 53 ° 4 9^{'} 58 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 37 ° 5 7^{'} 29 " - 53 ° 4 9^{'} 58 " = 88 ° 1 2^{'} 33 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 6 7 , 9 2}{3 1 , 5} = 5, 33

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 6 \cdot 2 1 \cdot 2 6}{4 \cdot 5 , 3 3 1 \cdot 3 1 , 5} = 13, 01

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 1 ^{2} + 2 \cdot 2 6 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2} = 22, 237 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 6 ^{2} + 2 \cdot 1 6 ^{2} - 2 1 ^{2}}{2} = 18, 861 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 6 ^{2} + 2 \cdot 2 1 ^{2} - 2 6 ^{2}}{2} = 13, 398

Vypočítať ďaľší trojuholník