Trojuholník 17 18 25

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 17
b = 18
c = 25

Obsah trojuholníka: S = 152,97105854078
Obvod trojuholníka: o = 60
Semiperimeter (poloobvod): s = 30

Uhol ∠ A = α = 42,83334280661° = 42°50' = 0,74875843497 rad
Uhol ∠ B = β = 46,04330532762° = 46°2'35″ = 0,80436028773 rad
Uhol ∠ C = γ = 91,12435186577° = 91°7'25″ = 1,59904054266 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 17,99765394597
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 16,9976731712
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 12,23876468326

Ťažnica: t_a = 20,05661711201
Ťažnica: t_b = 19,39107194297
Ťažnica: t_c = 12,25876506721

Polomer vpísanej kružnice: r = 5,09990195136
Polomer opísanej kružnice: R = 12,50224036151

Súradnice vrcholov: A[25; 0] B[0; 0] C[11,8; 12,23876468326]
Ťažisko: T[12,26766666667; 4,07992156109]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[12,5; -0,24551451689]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[12; 5,09990195136]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 137,16765719339° = 137°10' = 0,74875843497 rad
∠ B' = β' = 133,95769467238° = 133°57'25″ = 0,80436028773 rad
∠ C' = γ' = 88,87664813423° = 88°52'35″ = 1,59904054266 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 17 b = 18 c = 25

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 17 + 18 + 25 = 60

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{6 0}{2} = 30

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 30 (30 - 17) (30 - 18) (30 - 25) S = 23400 = 152, 97

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 5 2 , 9 7}{1 7} = 18 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 5 2 , 9 7}{1 8} = 17 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 5 2 , 9 7}{2 5} = 12, 24

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 8 ^{2} + 2 5 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2 \cdot 1 8 \cdot 2 5}) = 42 ° 5 0^{'} b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 7 ^{2} + 2 5 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2 \cdot 1 7 \cdot 2 5}) = 46 ° 2^{'} 35 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 42 ° 5 0^{'} - 46 ° 2^{'} 35 " = 91 ° 7^{'} 25 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 5 2 , 9 7}{3 0} = 5, 1

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 7 \cdot 1 8 \cdot 2 5}{4 \cdot 5 , 0 9 9 \cdot 3 0} = 12, 5

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 8 ^{2} + 2 \cdot 2 5 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2} = 20, 056 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 5 ^{2} + 2 \cdot 1 7 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2} = 19, 391 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 7 ^{2} + 2 \cdot 1 8 ^{2} - 2 5 ^{2}}{2} = 12, 258

Vypočítať ďaľší trojuholník