Trojuholník 19 19 22
Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 19
b = 19
c = 22
Obsah trojuholníka: S = 170,41112672331
Obvod trojuholníka: o = 60
Semiperimeter (poloobvod): s = 30
Uhol ∠ A = α = 54,62334598481° = 54°37'24″ = 0,95333592232 rad
Uhol ∠ B = β = 54,62334598481° = 54°37'24″ = 0,95333592232 rad
Uhol ∠ C = γ = 70,75330803039° = 70°45'11″ = 1,23548742072 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 17,93880281298
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 17,93880281298
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 15,49219333848
Ťažnica: ta = 18,22877261336
Ťažnica: tb = 18,22877261336
Ťažnica: tc = 15,49219333848
Polomer vpísanej kružnice: r = 5,68803755744
Polomer opísanej kružnice: R = 11,65112248998
Súradnice vrcholov: A[22; 0] B[0; 0] C[11; 15,49219333848]
Ťažisko: T[11; 5,16439777949]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[11; 3,8410708485]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[11; 5,68803755744]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 125,37765401519° = 125°22'36″ = 0,95333592232 rad
∠ B' = β' = 125,37765401519° = 125°22'36″ = 0,95333592232 rad
∠ C' = γ' = 109,24769196961° = 109°14'49″ = 1,23548742072 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=19 b=19 c=22
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=19+19+22=60
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=260=30
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=30(30−19)(30−19)(30−22) S=29040=170,41
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=192⋅ 170,41=17,94 vb=b2 S=192⋅ 170,41=17,94 vc=c2 S=222⋅ 170,41=15,49
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 19⋅ 22192+222−192)=54°37′24" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 19⋅ 22192+222−192)=54°37′24" γ=180°−α−β=180°−54°37′24"−54°37′24"=70°45′11"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=30170,41=5,68
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 5,68⋅ 3019⋅ 19⋅ 22=11,65
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 192+2⋅ 222−192=18,228 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 222+2⋅ 192−192=18,228 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 192+2⋅ 192−222=15,492
Vypočítať ďaľší trojuholník