Trojuholník 19 21 25
Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 19
b = 21
c = 25
Obsah trojuholníka: S = 194,53106852401
Obvod trojuholníka: o = 65
Semiperimeter (poloobvod): s = 32,5
Uhol ∠ A = α = 47,82325813991° = 47°49'21″ = 0,83546615022 rad
Uhol ∠ B = β = 54,99224613631° = 54°59'33″ = 0,96597995146 rad
Uhol ∠ C = γ = 77,18549572378° = 77°11'6″ = 1,34771316368 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 20,47769142358
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 18,52767319276
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 15,56224548192
Ťažnica: ta = 21,04216254125
Ťažnica: tb = 19,56439975465
Ťažnica: tc = 15,64444878472
Polomer vpísanej kružnice: r = 5,98655595459
Polomer opísanej kružnice: R = 12,81993143253
Súradnice vrcholov: A[25; 0] B[0; 0] C[10,9; 15,56224548192]
Ťažisko: T[11,96766666667; 5,18774849397]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[12,5; 2,84333817488]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[11,5; 5,98655595459]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 132,17774186009° = 132°10'39″ = 0,83546615022 rad
∠ B' = β' = 125,00875386369° = 125°27″ = 0,96597995146 rad
∠ C' = γ' = 102,81550427622° = 102°48'54″ = 1,34771316368 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=19 b=21 c=25
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=19+21+25=65
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=265=32,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=32,5(32,5−19)(32,5−21)(32,5−25) S=37842,19=194,53
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=192⋅ 194,53=20,48 vb=b2 S=212⋅ 194,53=18,53 vc=c2 S=252⋅ 194,53=15,56
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 21⋅ 25212+252−192)=47°49′21" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 19⋅ 25192+252−212)=54°59′33" γ=180°−α−β=180°−47°49′21"−54°59′33"=77°11′6"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=32,5194,53=5,99
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 5,986⋅ 32,519⋅ 21⋅ 25=12,82
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 212+2⋅ 252−192=21,042 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 252+2⋅ 192−212=19,564 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 192+2⋅ 212−252=15,644
Vypočítať ďaľší trojuholník