Trojuholník 2 13 14

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 2
b = 13
c = 14

Obsah trojuholníka: S = 11,65992238164
Obvod trojuholníka: o = 29
Semiperimeter (poloobvod): s = 14,5

Uhol ∠ A = α = 7,36111606635° = 7°21'40″ = 0,12884764903 rad
Uhol ∠ B = β = 56,38876254015° = 56°23'15″ = 0,98441497206 rad
Uhol ∠ C = γ = 116,2511213935° = 116°15'4″ = 2,02989664426 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 11,65992238164
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 1,7943726741
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 1,66656034023

Ťažnica: t_a = 13,47221935853
Ťažnica: t_b = 7,59993420768
Ťažnica: t_c = 6,1243724357

Polomer vpísanej kružnice: r = 0,80440844011
Polomer opísanej kružnice: R = 7,80549792536

Súradnice vrcholov: A[14; 0] B[0; 0] C[1,10771428571; 1,66656034023]
Ťažisko: T[5,03657142857; 0,55552011341]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[7; -3,45222023622]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[1,5; 0,80440844011]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 172,63988393365° = 172°38'20″ = 0,12884764903 rad
∠ B' = β' = 123,61223745985° = 123°36'45″ = 0,98441497206 rad
∠ C' = γ' = 63,7498786065° = 63°44'56″ = 2,02989664426 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 2 b = 13 c = 14

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 2 + 13 + 14 = 29

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 9}{2} = 14, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 14, 5 (14, 5 - 2) (14, 5 - 13) (14, 5 - 14) S = 135, 94 = 11, 66

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 1 , 6 6}{2} = 11, 66 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 1 , 6 6}{1 3} = 1, 79 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 1 , 6 6}{1 4} = 1, 67

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 3 ^{2} + 1 4 ^{2} - 2 ^{2}}{2 \cdot 1 3 \cdot 1 4}) = 7 ° 2 1^{'} 40 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{2 ^{2} + 1 4 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2 \cdot 2 \cdot 1 4}) = 56 ° 2 3^{'} 15 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 7 ° 2 1^{'} 40 " - 56 ° 2 3^{'} 15 " = 116 ° 1 5^{'} 4 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 1 , 6 6}{1 4 , 5} = 0, 8

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{2 \cdot 1 3 \cdot 1 4}{4 \cdot 0 , 8 0 4 \cdot 1 4 , 5} = 7, 8

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 3 ^{2} + 2 \cdot 1 4 ^{2} - 2 ^{2}}{2} = 13, 472 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 4 ^{2} + 2 \cdot 2 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2} = 7, 599 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 ^{2} + 2 \cdot 1 3 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2} = 6, 124

Vypočítať ďaľší trojuholník