Trojuholník 2 7 7.61

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 2
b = 7
c = 7,61

Obsah trojuholníka: S = 6,89114406766
Obvod trojuholníka: o = 16,61
Semiperimeter (poloobvod): s = 8,305

Uhol ∠ A = α = 14,9955090368° = 14°59'42″ = 0,26217136986 rad
Uhol ∠ B = β = 64,90111025069° = 64°54'4″ = 1,13327379269 rad
Uhol ∠ C = γ = 100,10438071251° = 100°6'14″ = 1,74771410281 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 6,89114406766
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 1,96989830505
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 1,81111539229

Ťažnica: t_a = 7,24326549
Ťažnica: t_b = 4,32550491327
Ťažnica: t_c = 3,46772719824

Polomer vpísanej kružnice: r = 0,83297941814
Polomer opísanej kružnice: R = 3,86549393138

Súradnice vrcholov: A[7,61; 0] B[0; 0] C[0,84883639947; 1,81111539229]
Ťažisko: T[2,81994546649; 0,60437179743]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[3,805; -0,67880345858]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[1,305; 0,83297941814]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 165,0054909632° = 165°18″ = 0,26217136986 rad
∠ B' = β' = 115,09988974931° = 115°5'56″ = 1,13327379269 rad
∠ C' = γ' = 79,89661928749° = 79°53'46″ = 1,74771410281 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 2 b = 7 c = 7, 61

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 2 + 7 + 7, 61 = 16, 61

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 6 , 6 1}{2} = 8, 31

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 8, 31 (8, 31 - 2) (8, 31 - 7) (8, 31 - 7, 61) S = 47, 49 = 6, 89

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 6 , 8 9}{2} = 6, 89 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 6 , 8 9}{7} = 1, 97 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 6 , 8 9}{7 , 6 1} = 1, 81

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{7 ^{2} + 7 , 6 1 ^{2} - 2 ^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 7 , 6 1}) = 14 ° 5 9^{'} 42 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{2 ^{2} + 7 , 6 1 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 2 \cdot 7 , 6 1}) = 64 ° 5 4^{'} 4 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 14 ° 5 9^{'} 42 " - 64 ° 5 4^{'} 4 " = 100 ° 6^{'} 14 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{6 , 8 9}{8 , 3 1} = 0, 83

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{2 \cdot 7 \cdot 7 , 6 1}{4 \cdot 0 , 8 3 \cdot 8 , 3 0 5} = 3, 86

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 ^{2} + 2 \cdot 7 , 6 1 ^{2} - 2 ^{2}}{2} = 7, 243 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 , 6 1 ^{2} + 2 \cdot 2 ^{2} - 7 ^{2}}{2} = 4, 325 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 ^{2} + 2 \cdot 7 ^{2} - 7 , 6 1 ^{2}}{2} = 3, 467

Vypočítať ďaľší trojuholník