Trojuholník 2 7 8
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 2
b = 7
c = 8
Obsah trojuholníka: S = 6,43771965948
Obvod trojuholníka: o = 17
Semiperimeter (poloobvod): s = 8,5
Uhol ∠ A = α = 13,2911177243° = 13°17'28″ = 0,23219748044 rad
Uhol ∠ B = β = 53,57664263577° = 53°34'35″ = 0,93550850414 rad
Uhol ∠ C = γ = 113,13223963993° = 113°7'57″ = 1,97545328078 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 6,43771965948
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 1,83991990271
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 1,60992991487
Ťažnica: ta = 7,45498322129
Ťažnica: tb = 4,66436895265
Ťažnica: tc = 3,24403703492
Polomer vpísanej kružnice: r = 0,75773172464
Polomer opísanej kružnice: R = 4,35497195693
Súradnice vrcholov: A[8; 0] B[0; 0] C[1,18875; 1,60992991487]
Ťažisko: T[3,06325; 0,53664330496]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[4; -1,70988184022]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[1,5; 0,75773172464]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 166,7098822757° = 166°42'32″ = 0,23219748044 rad
∠ B' = β' = 126,42435736423° = 126°25'25″ = 0,93550850414 rad
∠ C' = γ' = 66,86876036007° = 66°52'3″ = 1,97545328078 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=2 b=7 c=8
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=2+7+8=17
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=217=8,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=8,5(8,5−2)(8,5−7)(8,5−8) S=41,44=6,44
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=22⋅ 6,44=6,44 vb=b2 S=72⋅ 6,44=1,84 vc=c2 S=82⋅ 6,44=1,61
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 7⋅ 872+82−22)=13°17′28" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 2⋅ 822+82−72)=53°34′35" γ=180°−α−β=180°−13°17′28"−53°34′35"=113°7′57"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=8,56,44=0,76
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 0,757⋅ 8,52⋅ 7⋅ 8=4,35
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 72+2⋅ 82−22=7,45 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 82+2⋅ 22−72=4,664 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 22+2⋅ 72−82=3,24
Vypočítať ďaľší trojuholník