Trojuholník 2 8 9
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 2
b = 8
c = 9
Obsah trojuholníka: S = 7,31100957586
Obvod trojuholníka: o = 19
Semiperimeter (poloobvod): s = 9,5
Uhol ∠ A = α = 11,71658523949° = 11°42'57″ = 0,2044480199 rad
Uhol ∠ B = β = 54,31546652873° = 54°18'53″ = 0,94879697414 rad
Uhol ∠ C = γ = 113,96994823178° = 113°58'10″ = 1,98991427132 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 7,31100957586
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 1,82875239397
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 1,62444657241
Ťažnica: ta = 8,45657672626
Ťažnica: tb = 5,14878150705
Ťažnica: tc = 3,70880992435
Polomer vpísanej kružnice: r = 0,76994837641
Polomer opísanej kružnice: R = 4,925469609
Súradnice vrcholov: A[9; 0] B[0; 0] C[1,16766666667; 1,62444657241]
Ťažisko: T[3,38988888889; 0,54114885747]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[4,5; -2,00106577866]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[1,5; 0,76994837641]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 168,28441476051° = 168°17'3″ = 0,2044480199 rad
∠ B' = β' = 125,68553347127° = 125°41'7″ = 0,94879697414 rad
∠ C' = γ' = 66,03105176822° = 66°1'50″ = 1,98991427132 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=2 b=8 c=9
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=2+8+9=19
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=219=9,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=9,5(9,5−2)(9,5−8)(9,5−9) S=53,44=7,31
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=22⋅ 7,31=7,31 vb=b2 S=82⋅ 7,31=1,83 vc=c2 S=92⋅ 7,31=1,62
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 8⋅ 982+92−22)=11°42′57" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 2⋅ 922+92−82)=54°18′53" γ=180°−α−β=180°−11°42′57"−54°18′53"=113°58′10"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=9,57,31=0,77
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 0,769⋅ 9,52⋅ 8⋅ 9=4,92
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 82+2⋅ 92−22=8,456 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 92+2⋅ 22−82=5,148 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 22+2⋅ 82−92=3,708
Vypočítať ďaľší trojuholník