Trojuholník 2.87 4.1 5
Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 2,87
b = 4,1
c = 5
Obsah trojuholníka: S = 5,88334883168
Obvod trojuholníka: o = 11,97
Semiperimeter (poloobvod): s = 5,985
Uhol ∠ A = α = 35,03295518702° = 35°1'46″ = 0,61113810156 rad
Uhol ∠ B = β = 55,08546307523° = 55°5'5″ = 0,96114081739 rad
Uhol ∠ C = γ = 89,88658173775° = 89°53'9″ = 1,56988034641 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 4.10999918584
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 2,87699943009
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 2,35333953267
Ťažnica: ta = 4,34111720768
Ťažnica: tb = 3,52436273923
Ťažnica: tc = 2,5054685609
Polomer vpísanej kružnice: r = 0,98330389836
Polomer opísanej kružnice: R = 2.55000049644
Súradnice vrcholov: A[5; 0] B[0; 0] C[1,643269; 2,35333953267]
Ťažisko: T[2,214423; 0,78444651089]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[2,5; 0,00549821634]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[1,885; 0,98330389836]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 144,97704481298° = 144°58'14″ = 0,61113810156 rad
∠ B' = β' = 124,91553692477° = 124°54'55″ = 0,96114081739 rad
∠ C' = γ' = 90,11441826225° = 90°6'51″ = 1,56988034641 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=2,87 b=4,1 c=5
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=2,87+4,1+5=11,97
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=211,97=5,99
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=5,99(5,99−2,87)(5,99−4,1)(5,99−5) S=34,62=5,88
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=2,872⋅ 5,88=4,1 vb=b2 S=4,12⋅ 5,88=2,87 vc=c2 S=52⋅ 5,88=2,35
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 4,1⋅ 54,12+52−2,872)=35°1′46" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 2,87⋅ 52,872+52−4,12)=55°5′5" γ=180°−α−β=180°−35°1′46"−55°5′5"=89°53′9"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=5,995,88=0,98
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 0,983⋅ 5,9852,87⋅ 4,1⋅ 5=2,5
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 4,12+2⋅ 52−2,872=4,341 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 52+2⋅ 2,872−4,12=3,524 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 2,872+2⋅ 4,12−52=2,505
Vypočítať ďaľší trojuholník