Trojuholník 20 22 26

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 20
b = 22
c = 26

Obsah trojuholníka: S = 213,76662274542
Obvod trojuholníka: o = 68
Semiperimeter (poloobvod): s = 34

Uhol ∠ A = α = 48,36986204606° = 48°22'7″ = 0,84441916817 rad
Uhol ∠ B = β = 55,30333976437° = 55°18'12″ = 0,96552263764 rad
Uhol ∠ C = γ = 76,32879818956° = 76°19'41″ = 1,33221745955 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 21,37766227454
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 19,43332934049
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 16,4443555958

Ťažnica: t_a = 21,90989023002
Ťažnica: t_b = 20,42105778567
Ťažnica: t_c = 16,52327116419

Polomer vpísanej kružnice: r = 6,28772419839
Polomer opísanej kružnice: R = 13,37991012456

Súradnice vrcholov: A[26; 0] B[0; 0] C[11,38546153846; 16,4443555958]
Ťažisko: T[12,46215384615; 5,48111853193]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[13; 3,16223330217]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[12; 6,28772419839]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 131,63113795394° = 131°37'53″ = 0,84441916817 rad
∠ B' = β' = 124,69766023563° = 124°41'48″ = 0,96552263764 rad
∠ C' = γ' = 103,67220181044° = 103°40'19″ = 1,33221745955 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 20 b = 22 c = 26

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 20 + 22 + 26 = 68

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{6 8}{2} = 34

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 34 (34 - 20) (34 - 22) (34 - 26) S = 45696 = 213, 77

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 1 3 , 7 7}{2 0} = 21, 38 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 1 3 , 7 7}{2 2} = 19, 43 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 1 3 , 7 7}{2 6} = 16, 44

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 2 ^{2} + 2 6 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2 \cdot 2 2 \cdot 2 6}) = 48 ° 2 2^{'} 7 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{2 0 ^{2} + 2 6 ^{2} - 2 2 ^{2}}{2 \cdot 2 0 \cdot 2 6}) = 55 ° 1 8^{'} 12 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 48 ° 2 2^{'} 7 " - 55 ° 1 8^{'} 12 " = 76 ° 1 9^{'} 41 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 1 3 , 7 7}{3 4} = 6, 29

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{2 0 \cdot 2 2 \cdot 2 6}{4 \cdot 6 , 2 8 7 \cdot 3 4} = 13, 38

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 2 ^{2} + 2 \cdot 2 6 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 21, 909 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 6 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 2 2 ^{2}}{2} = 20, 421 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 2 2 ^{2} - 2 6 ^{2}}{2} = 16, 523

Vypočítať ďaľší trojuholník