Trojuholník 22 24 25
Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 22
b = 24
c = 25
Obsah trojuholníka: S = 240,56106732199
Obvod trojuholníka: o = 71
Semiperimeter (poloobvod): s = 35,5
Uhol ∠ A = α = 53,3098942622° = 53°18'32″ = 0,93304165695 rad
Uhol ∠ B = β = 61,01773038786° = 61°1'2″ = 1,06549528534 rad
Uhol ∠ C = γ = 65,67437534995° = 65°40'25″ = 1,14662232307 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 21,86991521109
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 20,04767227683
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 19,24548538576
Ťažnica: ta = 21,89774884405
Ťažnica: tb = 20,26107995894
Ťažnica: tc = 19,33326149292
Polomer vpísanej kružnice: r = 6,77663569921
Polomer opísanej kružnice: R = 13,71879529631
Súradnice vrcholov: A[25; 0] B[0; 0] C[10,66; 19,24548538576]
Ťažisko: T[11,88766666667; 6,41549512859]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[12,5; 5,65108613058]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[11,5; 6,77663569921]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 126,69110573781° = 126°41'28″ = 0,93304165695 rad
∠ B' = β' = 118,98326961215° = 118°58'58″ = 1,06549528534 rad
∠ C' = γ' = 114,32662465005° = 114°19'34″ = 1,14662232307 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=22 b=24 c=25
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=22+24+25=71
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=271=35,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=35,5(35,5−22)(35,5−24)(35,5−25) S=57869,44=240,56
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=222⋅ 240,56=21,87 vb=b2 S=242⋅ 240,56=20,05 vc=c2 S=252⋅ 240,56=19,24
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 24⋅ 25242+252−222)=53°18′32" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 22⋅ 25222+252−242)=61°1′2" γ=180°−α−β=180°−53°18′32"−61°1′2"=65°40′25"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=35,5240,56=6,78
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 6,776⋅ 35,522⋅ 24⋅ 25=13,72
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 242+2⋅ 252−222=21,897 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 252+2⋅ 222−242=20,261 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 222+2⋅ 242−252=19,333
Vypočítať ďaľší trojuholník