Trojuholník 23 27 30
Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 23
b = 27
c = 30
Obsah trojuholníka: S = 297,32113749464
Obvod trojuholníka: o = 80
Semiperimeter (poloobvod): s = 40
Uhol ∠ A = α = 47,23334876223° = 47°14'1″ = 0,82443798762 rad
Uhol ∠ B = β = 59,51994142744° = 59°31'10″ = 1,03988097479 rad
Uhol ∠ C = γ = 73,24770981033° = 73°14'50″ = 1,27884030294 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 25,8544032604
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 22,02438055516
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 19,82114249964
Ťažnica: ta = 26,12199157732
Ťažnica: tb = 23,07105439901
Ťažnica: tc = 20.10997512422
Polomer vpísanej kružnice: r = 7,43330343737
Polomer opísanej kružnice: R = 15,66548676902
Súradnice vrcholov: A[30; 0] B[0; 0] C[11,66766666667; 19,82114249964]
Ťažisko: T[13,88988888889; 6,60771416655]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[15; 4,51553161297]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[13; 7,43330343737]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 132,76765123777° = 132°45'59″ = 0,82443798762 rad
∠ B' = β' = 120,48105857256° = 120°28'50″ = 1,03988097479 rad
∠ C' = γ' = 106,75329018967° = 106°45'10″ = 1,27884030294 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=23 b=27 c=30
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=23+27+30=80
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=280=40
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=40(40−23)(40−27)(40−30) S=88400=297,32
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=232⋅ 297,32=25,85 vb=b2 S=272⋅ 297,32=22,02 vc=c2 S=302⋅ 297,32=19,82
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 27⋅ 30272+302−232)=47°14′1" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 23⋅ 30232+302−272)=59°31′10" γ=180°−α−β=180°−47°14′1"−59°31′10"=73°14′50"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=40297,32=7,43
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 7,433⋅ 4023⋅ 27⋅ 30=15,66
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 272+2⋅ 302−232=26,12 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 302+2⋅ 232−272=23,071 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 232+2⋅ 272−302=20,1
Vypočítať ďaľší trojuholník