Trojuholník 24 26 28

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 24
b = 26
c = 28

Obsah trojuholníka: S = 289,23217409967
Obvod trojuholníka: o = 78
Semiperimeter (poloobvod): s = 39

Uhol ∠ A = α = 52,61768015821° = 52°37' = 0,91883364295 rad
Uhol ∠ B = β = 59,40875112549° = 59°24'27″ = 1,03768566718 rad
Uhol ∠ C = γ = 67,9765687163° = 67°58'32″ = 1,18663995523 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 24,10326450831
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 22,24985954613
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 20,65994100712

Ťažnica: t_a = 24,20774368738
Ťažnica: t_b = 22,60553091109
Ťažnica: t_c = 20,73664413533

Polomer vpísanej kružnice: r = 7,41661984871
Polomer opísanej kružnice: R = 15,10220769192

Súradnice vrcholov: A[28; 0] B[0; 0] C[12,21442857143; 20,65994100712]
Ťažisko: T[13,40547619048; 6,88664700237]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[14; 5,66332788447]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[13; 7,41661984871]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 127,38331984179° = 127°23' = 0,91883364295 rad
∠ B' = β' = 120,59224887451° = 120°35'33″ = 1,03768566718 rad
∠ C' = γ' = 112,0244312837° = 112°1'28″ = 1,18663995523 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 24 b = 26 c = 28

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 24 + 26 + 28 = 78

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{7 8}{2} = 39

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 39 (39 - 24) (39 - 26) (39 - 28) S = 83655 = 289, 23

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 8 9 , 2 3}{2 4} = 24, 1 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 8 9 , 2 3}{2 6} = 22, 25 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 8 9 , 2 3}{2 8} = 20, 66

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 6 ^{2} + 2 8 ^{2} - 2 4 ^{2}}{2 \cdot 2 6 \cdot 2 8}) = 52 ° 3 7^{'} b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{2 4 ^{2} + 2 8 ^{2} - 2 6 ^{2}}{2 \cdot 2 4 \cdot 2 8}) = 59 ° 2 4^{'} 27 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 52 ° 3 7^{'} - 59 ° 2 4^{'} 27 " = 67 ° 5 8^{'} 32 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 8 9 , 2 3}{3 9} = 7, 42

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{2 4 \cdot 2 6 \cdot 2 8}{4 \cdot 7 , 4 1 6 \cdot 3 9} = 15, 1

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 6 ^{2} + 2 \cdot 2 8 ^{2} - 2 4 ^{2}}{2} = 24, 207 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 8 ^{2} + 2 \cdot 2 4 ^{2} - 2 6 ^{2}}{2} = 22, 605 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 4 ^{2} + 2 \cdot 2 6 ^{2} - 2 8 ^{2}}{2} = 20, 736

Vypočítať ďaľší trojuholník