Trojuholník 27 16 18

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 27
b = 16
c = 18

Obsah trojuholníka: S = 139,09986610288
Obvod trojuholníka: o = 61
Semiperimeter (poloobvod): s = 30,5

Uhol ∠ A = α = 104,99217853794° = 104°59'30″ = 1,83224523424 rad
Uhol ∠ B = β = 34,91993255344° = 34°55'10″ = 0,60994572032 rad
Uhol ∠ C = γ = 40,08988890862° = 40°5'20″ = 0.7699683108 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 10,30436045207
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 17,38773326286
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 15,4555406781

Ťažnica: t_a = 10,3880269746
Ťažnica: t_b = 21,50658131676
Ťažnica: t_c = 20,28554627751

Polomer vpísanej kružnice: r = 4,5610611837
Polomer opísanej kružnice: R = 13,97656916826

Súradnice vrcholov: A[18; 0] B[0; 0] C[22,13988888889; 15,4555406781]
Ťažisko: T[13,38796296296; 5,15218022603]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[9; 10,69220511599]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[14,5; 4,5610611837]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 75,00882146206° = 75°30″ = 1,83224523424 rad
∠ B' = β' = 145,08106744656° = 145°4'50″ = 0,60994572032 rad
∠ C' = γ' = 139,91111109138° = 139°54'40″ = 0.7699683108 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 27 b = 16 c = 18

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 27 + 16 + 18 = 61

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{6 1}{2} = 30, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 30, 5 (30, 5 - 27) (30, 5 - 16) (30, 5 - 18) S = 19348, 44 = 139, 1

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 3 9 , 1}{2 7} = 10, 3 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 3 9 , 1}{1 6} = 17, 39 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 3 9 , 1}{1 8} = 15, 46

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 6 ^{2} + 1 8 ^{2} - 2 7 ^{2}}{2 \cdot 1 6 \cdot 1 8}) = 104 ° 5 9^{'} 30 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{2 7 ^{2} + 1 8 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2 \cdot 2 7 \cdot 1 8}) = 34 ° 5 5^{'} 10 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 104 ° 5 9^{'} 30 " - 34 ° 5 5^{'} 10 " = 40 ° 5^{'} 20 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 3 9 , 1}{3 0 , 5} = 4, 56

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{2 7 \cdot 1 6 \cdot 1 8}{4 \cdot 4 , 5 6 1 \cdot 3 0 , 5} = 13, 98

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 6 ^{2} + 2 \cdot 1 8 ^{2} - 2 7 ^{2}}{2} = 10, 38 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 8 ^{2} + 2 \cdot 2 7 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2} = 21, 506 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 7 ^{2} + 2 \cdot 1 6 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2} = 20, 285

Vypočítať ďaľší trojuholník