Trojuholník 27 28 29
Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 27
b = 28
c = 29
Obsah trojuholníka: S = 338,61548254285
Obvod trojuholníka: o = 84
Semiperimeter (poloobvod): s = 42
Uhol ∠ A = α = 56,5154623377° = 56°30'53″ = 0,98663662535 rad
Uhol ∠ B = β = 59,87331765842° = 59°52'23″ = 1,0454984065 rad
Uhol ∠ C = γ = 63,61222000388° = 63°36'44″ = 1,11102423351 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 25,08325796614
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 24,18767732449
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 23,35327465813
Ťažnica: ta = 25,10547804213
Ťažnica: tb = 24,2699322199
Ťažnica: tc = 23,3721991785
Polomer vpísanej kružnice: r = 8,06222577483
Polomer opísanej kružnice: R = 16,18765328639
Súradnice vrcholov: A[29; 0] B[0; 0] C[13,55217241379; 23,35327465813]
Ťažisko: T[14,1843908046; 7,78442488604]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[14,5; 7,19440146062]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[14; 8,06222577483]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 123,4855376623° = 123°29'7″ = 0,98663662535 rad
∠ B' = β' = 120,12768234158° = 120°7'37″ = 1,0454984065 rad
∠ C' = γ' = 116,38877999612° = 116°23'16″ = 1,11102423351 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=27 b=28 c=29
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=27+28+29=84
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=284=42
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=42(42−27)(42−28)(42−29) S=114660=338,61
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=272⋅ 338,61=25,08 vb=b2 S=282⋅ 338,61=24,19 vc=c2 S=292⋅ 338,61=23,35
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 28⋅ 29282+292−272)=56°30′53" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 27⋅ 29272+292−282)=59°52′23" γ=180°−α−β=180°−56°30′53"−59°52′23"=63°36′44"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=42338,61=8,06
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 8,062⋅ 4227⋅ 28⋅ 29=16,19
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 282+2⋅ 292−272=25,105 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 292+2⋅ 272−282=24,269 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 272+2⋅ 282−292=23,372
Vypočítať ďaľší trojuholník