Trojuholník 3 5.2 6

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 3
b = 5,2
c = 6

Obsah trojuholníka: S = 7.87999935897
Obvod trojuholníka: o = 14,2
Semiperimeter (poloobvod): s = 7,1

Uhol ∠ A = α = 309,9999728142° = 30° = 0,52435983011 rad
Uhol ∠ B = β = 60,07334833336° = 60°4'25″ = 1,04884800773 rad
Uhol ∠ C = γ = 89,92765438523° = 89°55'36″ = 1,57695142752 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 5.21999957265
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 32,9999975345
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 2.65999978632

Ťažnica: t_a = 5,41101755979
Ťažnica: t_b = 3,9677366885
Ťažnica: t_c = 3,00333314835

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,09985906464
Polomer opísanej kružnice: R = 33,0000024655

Súradnice vrcholov: A[6; 0] B[0; 0] C[1,49766666667; 2.65999978632]
Ťažisko: T[2,49988888889; 0,86766659544]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[3; 0,0043846157]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[1,9; 1,09985906464]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 1500,0000271859° = 150° = 0,52435983011 rad
∠ B' = β' = 119,92765166665° = 119°55'35″ = 1,04884800773 rad
∠ C' = γ' = 90,07334561477° = 90°4'24″ = 1,57695142752 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 3 b = 5, 2 c = 6

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 3 + 5, 2 + 6 = 14, 2

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 4 , 2}{2} = 7, 1

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 7, 1 (7, 1 - 3) (7, 1 - 5, 2) (7, 1 - 6) S = 60, 84 = 7, 8

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 7 , 8}{3} = 5, 2 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 7 , 8}{5 , 2} = 3 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 7 , 8}{6} = 2, 6

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{5 , 2 ^{2} + 6 ^{2} - 3 ^{2}}{2 \cdot 5 , 2 \cdot 6}) = 30 ° b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{3 ^{2} + 6 ^{2} - 5 , 2 ^{2}}{2 \cdot 3 \cdot 6}) = 60 ° 4^{'} 25 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 30 ° - 60 ° 4^{'} 25 " = 89 ° 5 5^{'} 36 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{7 , 8}{7 , 1} = 1, 1

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{3 \cdot 5 , 2 \cdot 6}{4 \cdot 1 , 0 9 9 \cdot 7 , 1} = 3

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 , 2 ^{2} + 2 \cdot 6 ^{2} - 3 ^{2}}{2} = 5, 41 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 6 ^{2} + 2 \cdot 3 ^{2} - 5 , 2 ^{2}}{2} = 3, 967 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 ^{2} + 2 \cdot 5 , 2 ^{2} - 6 ^{2}}{2} = 3, 003

Vypočítať ďaľší trojuholník