Trojuholník 3 6 7
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 3
b = 6
c = 7
Obsah trojuholníka: S = 8,944427191
Obvod trojuholníka: o = 16
Semiperimeter (poloobvod): s = 8
Uhol ∠ A = α = 25,20987652968° = 25°12'32″ = 0,44399759548 rad
Uhol ∠ B = β = 58,41218644948° = 58°24'43″ = 1,01994793577 rad
Uhol ∠ C = γ = 96,37993702084° = 96°22'46″ = 1,68221373411 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 5,963284794
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 2,981142397
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 2,556550626
Ťažnica: ta = 6,34442887702
Ťažnica: tb = 4,4722135955
Ťažnica: tc = 3,20215621187
Polomer vpísanej kružnice: r = 1,11880339887
Polomer opísanej kružnice: R = 3,52218070646
Súradnice vrcholov: A[7; 0] B[0; 0] C[1,57114285714; 2,556550626]
Ťažisko: T[2,85771428571; 0,852183542]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[3,5; -0,39113118961]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[2; 1,11880339887]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 154,79112347032° = 154°47'28″ = 0,44399759548 rad
∠ B' = β' = 121,58881355052° = 121°35'17″ = 1,01994793577 rad
∠ C' = γ' = 83,62106297916° = 83°37'14″ = 1,68221373411 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=3 b=6 c=7
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=3+6+7=16
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=216=8
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=8(8−3)(8−6)(8−7) S=80=8,94
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=32⋅ 8,94=5,96 vb=b2 S=62⋅ 8,94=2,98 vc=c2 S=72⋅ 8,94=2,56
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 6⋅ 762+72−32)=25°12′32" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 3⋅ 732+72−62)=58°24′43" γ=180°−α−β=180°−25°12′32"−58°24′43"=96°22′46"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=88,94=1,12
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 1,118⋅ 83⋅ 6⋅ 7=3,52
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 62+2⋅ 72−32=6,344 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 72+2⋅ 32−62=4,472 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 32+2⋅ 62−72=3,202
Vypočítať ďaľší trojuholník