Trojuholník 3 6 8
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 3
b = 6
c = 8
Obsah trojuholníka: S = 7,64444424257
Obvod trojuholníka: o = 17
Semiperimeter (poloobvod): s = 8,5
Uhol ∠ A = α = 18,57333497187° = 18°34'24″ = 0,32441661057 rad
Uhol ∠ B = β = 39,57112194572° = 39°34'16″ = 0,69106480686 rad
Uhol ∠ C = γ = 121,8555430824° = 121°51'20″ = 2,12767784793 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 5,09662949505
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 2,54881474752
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 1,91111106064
Ťažnica: ta = 6,91101374805
Ťažnica: tb = 5,24440442409
Ťažnica: tc = 2,55495097568
Polomer vpísanej kružnice: r = 0,89993461677
Polomer opísanej kružnice: R = 4,70993035692
Súradnice vrcholov: A[8; 0] B[0; 0] C[2,31325; 1,91111106064]
Ťažisko: T[3,43875; 0,63770368688]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[4; -2,48554657726]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[2,5; 0,89993461677]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 161,42766502813° = 161°25'36″ = 0,32441661057 rad
∠ B' = β' = 140,42987805428° = 140°25'44″ = 0,69106480686 rad
∠ C' = γ' = 58,1454569176° = 58°8'40″ = 2,12767784793 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=3 b=6 c=8
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=3+6+8=17
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=217=8,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=8,5(8,5−3)(8,5−6)(8,5−8) S=58,44=7,64
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=32⋅ 7,64=5,1 vb=b2 S=62⋅ 7,64=2,55 vc=c2 S=82⋅ 7,64=1,91
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 6⋅ 862+82−32)=18°34′24" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 3⋅ 832+82−62)=39°34′16" γ=180°−α−β=180°−18°34′24"−39°34′16"=121°51′20"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=8,57,64=0,9
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 0,899⋅ 8,53⋅ 6⋅ 8=4,71
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 62+2⋅ 82−32=6,91 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 82+2⋅ 32−62=5,244 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 32+2⋅ 62−82=2,55
Vypočítať ďaľší trojuholník