Trojuholník 3 8 10
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 3
b = 8
c = 10
Obsah trojuholníka: S = 9,92215674165
Obvod trojuholníka: o = 21
Semiperimeter (poloobvod): s = 10,5
Uhol ∠ A = α = 14,36215115629° = 14°21'41″ = 0,25106556623 rad
Uhol ∠ B = β = 41,41096221093° = 41°24'35″ = 0,72327342478 rad
Uhol ∠ C = γ = 124,22988663278° = 124°13'44″ = 2,16882027434 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 6,61443782777
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 2,48803918541
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 1,98443134833
Ťažnica: ta = 8,93302855497
Ťažnica: tb = 6,2054836823
Ťažnica: tc = 3,39111649916
Polomer vpísanej kružnice: r = 0,94549111825
Polomer opísanej kružnice: R = 6,04774315681
Súradnice vrcholov: A[10; 0] B[0; 0] C[2,25; 1,98443134833]
Ťažisko: T[4,08333333333; 0,66114378278]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[5; -3,40216802571]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[2,5; 0,94549111825]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 165,63884884371° = 165°38'19″ = 0,25106556623 rad
∠ B' = β' = 138,59903778907° = 138°35'25″ = 0,72327342478 rad
∠ C' = γ' = 55,77111336722° = 55°46'16″ = 2,16882027434 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=3 b=8 c=10
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=3+8+10=21
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=221=10,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=10,5(10,5−3)(10,5−8)(10,5−10) S=98,44=9,92
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=32⋅ 9,92=6,61 vb=b2 S=82⋅ 9,92=2,48 vc=c2 S=102⋅ 9,92=1,98
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 8⋅ 1082+102−32)=14°21′41" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 3⋅ 1032+102−82)=41°24′35" γ=180°−α−β=180°−14°21′41"−41°24′35"=124°13′44"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=10,59,92=0,94
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 0,945⋅ 10,53⋅ 8⋅ 10=6,05
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 82+2⋅ 102−32=8,93 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 102+2⋅ 32−82=6,205 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 32+2⋅ 82−102=3,391
Vypočítať ďaľší trojuholník