Trojuholník 4 20 22

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 4
b = 20
c = 22

Obsah trojuholníka: S = 36,20877339805
Obvod trojuholníka: o = 46
Semiperimeter (poloobvod): s = 23

Uhol ∠ A = α = 9,47328720666° = 9°28'22″ = 0,16553328072 rad
Uhol ∠ B = β = 55,37664645208° = 55°22'35″ = 0,9676501634 rad
Uhol ∠ C = γ = 115,15106634125° = 115°9'2″ = 2,01097582124 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 18,10438669902
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 3,6210773398
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 3,292161218

Ťažnica: t_a = 20,92884495365
Ťažnica: t_b = 12,24774487139
Ťažnica: t_c = 9,32773790531

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,57442493035
Polomer opísanej kružnice: R = 12,15220998867

Súradnice vrcholov: A[22; 0] B[0; 0] C[2,27327272727; 3,292161218]
Ťažisko: T[8,09109090909; 1,097720406]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[11; -5,16546424518]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[3; 1,57442493035]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 170,52771279334° = 170°31'38″ = 0,16553328072 rad
∠ B' = β' = 124,62435354792° = 124°37'25″ = 0,9676501634 rad
∠ C' = γ' = 64,84993365875° = 64°50'58″ = 2,01097582124 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 4 b = 20 c = 22

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 4 + 20 + 22 = 46

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 6}{2} = 23

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 23 (23 - 4) (23 - 20) (23 - 22) S = 1311 = 36, 21

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 3 6 , 2 1}{4} = 18, 1 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 3 6 , 2 1}{2 0} = 3, 62 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 3 6 , 2 1}{2 2} = 3, 29

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 0 ^{2} + 2 2 ^{2} - 4 ^{2}}{2 \cdot 2 0 \cdot 2 2}) = 9 ° 2 8^{'} 22 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{4 ^{2} + 2 2 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2 \cdot 4 \cdot 2 2}) = 55 ° 2 2^{'} 35 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 9 ° 2 8^{'} 22 " - 55 ° 2 2^{'} 35 " = 115 ° 9^{'} 2 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{3 6 , 2 1}{2 3} = 1, 57

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{4 \cdot 2 0 \cdot 2 2}{4 \cdot 1 , 5 7 4 \cdot 2 3} = 12, 15

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 2 2 ^{2} - 4 ^{2}}{2} = 20, 928 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 2 ^{2} + 2 \cdot 4 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 12, 247 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 4 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 2 2 ^{2}}{2} = 9, 327

Vypočítať ďaľší trojuholník