Trojuholník 4 28 30
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 4
b = 28
c = 30
Obsah trojuholníka: S = 50,11098792655
Obvod trojuholníka: o = 62
Semiperimeter (poloobvod): s = 31
Uhol ∠ A = α = 6,8522238335° = 6°51'8″ = 0,12195941201 rad
Uhol ∠ B = β = 56,63329870308° = 56°37'59″ = 0,98884320889 rad
Uhol ∠ C = γ = 116,51547746343° = 116°30'53″ = 2,03435664446 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 25,05549396327
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 3,57992770904
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 3,34106586177
Ťažnica: ta = 28,94882296523
Ťažnica: tb = 16,18664140562
Ťažnica: tc = 13,22987565553
Polomer vpísanej kružnice: r = 1,61664477182
Polomer opísanej kružnice: R = 16,76331615225
Súradnice vrcholov: A[30; 0] B[0; 0] C[2,2; 3,34106586177]
Ťažisko: T[10,73333333333; 1,11435528726]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[15; -7,48435542511]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[3; 1,61664477182]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 173,1487761665° = 173°8'52″ = 0,12195941201 rad
∠ B' = β' = 123,36770129692° = 123°22'1″ = 0,98884320889 rad
∠ C' = γ' = 63,48552253657° = 63°29'7″ = 2,03435664446 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=4 b=28 c=30
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=4+28+30=62
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=262=31
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=31(31−4)(31−28)(31−30) S=2511=50,11
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=42⋅ 50,11=25,05 vb=b2 S=282⋅ 50,11=3,58 vc=c2 S=302⋅ 50,11=3,34
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 28⋅ 30282+302−42)=6°51′8" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 4⋅ 3042+302−282)=56°37′59" γ=180°−α−β=180°−6°51′8"−56°37′59"=116°30′53"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=3150,11=1,62
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 1,616⋅ 314⋅ 28⋅ 30=16,76
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 282+2⋅ 302−42=28,948 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 302+2⋅ 42−282=16,186 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 42+2⋅ 282−302=13,229
Vypočítať ďaľší trojuholník