Trojuholník 4 5 7
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 4
b = 5
c = 7
Obsah trojuholníka: S = 9,79879589711
Obvod trojuholníka: o = 16
Semiperimeter (poloobvod): s = 8
Uhol ∠ A = α = 34,048773237° = 34°2'52″ = 0,59442450327 rad
Uhol ∠ B = β = 44,41553085972° = 44°24'55″ = 0,77551933733 rad
Uhol ∠ C = γ = 101,53769590328° = 101°32'13″ = 1,77221542476 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 4,89989794856
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 3,91991835885
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 2,79994168489
Ťažnica: ta = 5,74545626465
Ťažnica: tb = 5,1233475383
Ťažnica: tc = 2,87222813233
Polomer vpísanej kružnice: r = 1,22547448714
Polomer opísanej kružnice: R = 3,57221725416
Súradnice vrcholov: A[7; 0] B[0; 0] C[2,85771428571; 2,79994168489]
Ťažisko: T[3,28657142857; 0,93331389496]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[3,5; -0,71444345083]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[3; 1,22547448714]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 145,952226763° = 145°57'8″ = 0,59442450327 rad
∠ B' = β' = 135,58546914028° = 135°35'5″ = 0,77551933733 rad
∠ C' = γ' = 78,46330409672° = 78°27'47″ = 1,77221542476 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=4 b=5 c=7
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=4+5+7=16
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=216=8
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=8(8−4)(8−5)(8−7) S=96=9,8
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=42⋅ 9,8=4,9 vb=b2 S=52⋅ 9,8=3,92 vc=c2 S=72⋅ 9,8=2,8
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 5⋅ 752+72−42)=34°2′52" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 4⋅ 742+72−52)=44°24′55" γ=180°−α−β=180°−34°2′52"−44°24′55"=101°32′13"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=89,8=1,22
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 1,225⋅ 84⋅ 5⋅ 7=3,57
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 52+2⋅ 72−42=5,745 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 72+2⋅ 42−52=5,123 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 42+2⋅ 52−72=2,872
Vypočítať ďaľší trojuholník