Trojuholník 4 6 7
Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 4
b = 6
c = 7
Obsah trojuholníka: S = 11,9776539567
Obvod trojuholníka: o = 17
Semiperimeter (poloobvod): s = 8,5
Uhol ∠ A = α = 34,77219440319° = 34°46'19″ = 0,60768849107 rad
Uhol ∠ B = β = 58,81113776665° = 58°48'41″ = 1,02664521779 rad
Uhol ∠ C = γ = 86,41766783015° = 86°25' = 1,5088255565 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 5,98882697835
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 3,99221798557
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 3,42218684477
Ťažnica: ta = 6,2054836823
Ťažnica: tb = 4,84876798574
Ťažnica: tc = 3,70880992435
Polomer vpísanej kružnice: r = 1,40990046549
Polomer opísanej kružnice: R = 3,50768560301
Súradnice vrcholov: A[7; 0] B[0; 0] C[2,07114285714; 3,42218684477]
Ťažisko: T[3,02438095238; 1,14106228159]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[3,5; 0,21991785019]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[2,5; 1,40990046549]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 145,22880559681° = 145°13'41″ = 0,60768849107 rad
∠ B' = β' = 121,18986223335° = 121°11'19″ = 1,02664521779 rad
∠ C' = γ' = 93,58333216985° = 93°35' = 1,5088255565 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=4 b=6 c=7
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=4+6+7=17
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=217=8,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=8,5(8,5−4)(8,5−6)(8,5−7) S=143,44=11,98
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=42⋅ 11,98=5,99 vb=b2 S=62⋅ 11,98=3,99 vc=c2 S=72⋅ 11,98=3,42
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 6⋅ 762+72−42)=34°46′19" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 4⋅ 742+72−62)=58°48′41" γ=180°−α−β=180°−34°46′19"−58°48′41"=86°25′
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=8,511,98=1,41
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 1,409⋅ 8,54⋅ 6⋅ 7=3,51
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 62+2⋅ 72−42=6,205 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 72+2⋅ 42−62=4,848 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 42+2⋅ 62−72=3,708
Vypočítať ďaľší trojuholník