Trojuholník 4 7 9
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 4
b = 7
c = 9
Obsah trojuholníka: S = 13,4166407865
Obvod trojuholníka: o = 20
Semiperimeter (poloobvod): s = 10
Uhol ∠ A = α = 25,20987652968° = 25°12'32″ = 0,44399759548 rad
Uhol ∠ B = β = 48,19896851042° = 48°11'23″ = 0,84110686706 rad
Uhol ∠ C = γ = 106,6021549599° = 106°36'6″ = 1,86105480282 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 6,70882039325
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 3,833325939
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 2,981142397
Ťažnica: ta = 7,81102496759
Ťažnica: tb = 6,02107972894
Ťažnica: tc = 3,5
Polomer vpísanej kružnice: r = 1,34216407865
Polomer opísanej kružnice: R = 4,69657427527
Súradnice vrcholov: A[9; 0] B[0; 0] C[2,66766666667; 2,981142397]
Ťažisko: T[3,88988888889; 0,994380799]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[4,5; -1,34216407865]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[3; 1,34216407865]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 154,79112347032° = 154°47'28″ = 0,44399759548 rad
∠ B' = β' = 131,81103148958° = 131°48'37″ = 0,84110686706 rad
∠ C' = γ' = 73,3988450401° = 73°23'54″ = 1,86105480282 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=4 b=7 c=9
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=4+7+9=20
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=220=10
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=10(10−4)(10−7)(10−9) S=180=13,42
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=42⋅ 13,42=6,71 vb=b2 S=72⋅ 13,42=3,83 vc=c2 S=92⋅ 13,42=2,98
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 7⋅ 972+92−42)=25°12′32" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 4⋅ 942+92−72)=48°11′23" γ=180°−α−β=180°−25°12′32"−48°11′23"=106°36′6"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=1013,42=1,34
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 1,342⋅ 104⋅ 7⋅ 9=4,7
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 72+2⋅ 92−42=7,81 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 92+2⋅ 42−72=6,021 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 42+2⋅ 72−92=3,5
Vypočítať ďaľší trojuholník