Trojuholník 4 8 11
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 4
b = 8
c = 11
Obsah trojuholníka: S = 12,28656623753
Obvod trojuholníka: o = 23
Semiperimeter (poloobvod): s = 11,5
Uhol ∠ A = α = 16,2143633496° = 16°12'49″ = 0,28329812882 rad
Uhol ∠ B = β = 33,9487926527° = 33°56'53″ = 0,59325030921 rad
Uhol ∠ C = γ = 129,8388439977° = 129°50'18″ = 2,26661082733 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 6,14328311877
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 3,07114155938
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 2,23437567955
Ťažnica: ta = 9,40774438611
Ťažnica: tb = 7,24656883731
Ťažnica: tc = 3,12224989992
Polomer vpísanej kružnice: r = 1,06883184674
Polomer opísanej kružnice: R = 7,16328209625
Súradnice vrcholov: A[11; 0] B[0; 0] C[3,31881818182; 2,23437567955]
Ťažisko: T[4,77327272727; 0,74545855985]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[5,5; -4,58986821791]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[3,5; 1,06883184674]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 163,7866366504° = 163°47'11″ = 0,28329812882 rad
∠ B' = β' = 146,0522073473° = 146°3'7″ = 0,59325030921 rad
∠ C' = γ' = 50,1621560023° = 50°9'42″ = 2,26661082733 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=4 b=8 c=11
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=4+8+11=23
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=223=11,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=11,5(11,5−4)(11,5−8)(11,5−11) S=150,94=12,29
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=42⋅ 12,29=6,14 vb=b2 S=82⋅ 12,29=3,07 vc=c2 S=112⋅ 12,29=2,23
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 8⋅ 1182+112−42)=16°12′49" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 4⋅ 1142+112−82)=33°56′53" γ=180°−α−β=180°−16°12′49"−33°56′53"=129°50′18"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=11,512,29=1,07
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 1,068⋅ 11,54⋅ 8⋅ 11=7,16
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 82+2⋅ 112−42=9,407 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 112+2⋅ 42−82=7,246 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 42+2⋅ 82−112=3,122
Vypočítať ďaľší trojuholník