Trojuholník 4.24 5.1 2.83
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 4,24
b = 5,1
c = 2,83
Obsah trojuholníka: S = 65,9995971235
Obvod trojuholníka: o = 12,17
Semiperimeter (poloobvod): s = 6,085
Uhol ∠ A = α = 56,24399501064° = 56°14'24″ = 0,98215723005 rad
Uhol ∠ B = β = 90,05661058668° = 90°3'22″ = 1,57217755589 rad
Uhol ∠ C = γ = 33,70439440268° = 33°42'14″ = 0,58882447942 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 2,83299986432
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 2,35327831857
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 4,24399979671
Ťažnica: ta = 3,53876616571
Ťažnica: tb = 2,54876950367
Ťažnica: tc = 4,47111939121
Polomer vpísanej kružnice: r = 0,98659650162
Polomer opísanej kružnice: R = 2,55500012226
Súradnice vrcholov: A[2,83; 0] B[0; 0] C[-0,00441519435; 4,24399979671]
Ťažisko: T[0,94219493522; 1,41333326557]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[1,415; 2,12113866303]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[0,985; 0,98659650162]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 123,76600498936° = 123°45'36″ = 0,98215723005 rad
∠ B' = β' = 89,94438941332° = 89°56'38″ = 1,57217755589 rad
∠ C' = γ' = 146,29660559732° = 146°17'46″ = 0,58882447942 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=4,24 b=5,1 c=2,83
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=4,24+5,1+2,83=12,17
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=212,17=6,09
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=6,09(6,09−4,24)(6,09−5,1)(6,09−2,83) S=36=6
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=4,242⋅ 6=2,83 vb=b2 S=5,12⋅ 6=2,35 vc=c2 S=2,832⋅ 6=4,24
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 5,1⋅ 2,835,12+2,832−4,242)=56°14′24" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 4,24⋅ 2,834,242+2,832−5,12)=90°3′22" γ=180°−α−β=180°−56°14′24"−90°3′22"=33°42′14"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=6,096=0,99
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 0,986⋅ 6,0854,24⋅ 5,1⋅ 2,83=2,55
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.Vypočítať ďaľší trojuholník