Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 44
b = 26
c = 51

Obsah trojuholníka: S = 571,99333893849
Obvod trojuholníka: o = 121
Semiperimeter (poloobvod): s = 60,5

Uhol ∠ A = α = 59,62550839964° = 59°37'30″ = 1,04106540325 rad
Uhol ∠ B = β = 30,65503775432° = 30°39'1″ = 0,53549500051 rad
Uhol ∠ C = γ = 89,72545384604° = 89°43'28″ = 1,5665988616 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 265,9996995175
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 43,99994914911
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 22,43111133092

Ťažnica: t_a = 33,97879340161
Ťažnica: t_b = 45,82203011775
Ťažnica: t_c = 25,60876160546

Polomer vpísanej kružnice: r = 9,45444361882
Polomer opísanej kružnice: R = 25.55002947074

Súradnice vrcholov: A[51; 0] B[0; 0] C[37,85329411765; 22,43111133092]
Ťažisko: T[29,61876470588; 7,47770377697]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[25,5; 0,12325975707]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[34,5; 9,45444361882]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 120,37549160036° = 120°22'30″ = 1,04106540325 rad
∠ B' = β' = 149,35496224568° = 149°20'59″ = 0,53549500051 rad
∠ C' = γ' = 90,27554615396° = 90°16'32″ = 1,5665988616 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 44 b = 26 c = 51

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 44 + 26 + 51 = 121

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 2 1}{2} = 60, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 60, 5 (60, 5 - 44) (60, 5 - 26) (60, 5 - 51) S = 327176, 44 = 571, 99

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 5 7 1 , 9 9}{4 4} = 26 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 5 7 1 , 9 9}{2 6} = 44 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 5 7 1 , 9 9}{5 1} = 22, 43

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 6 ^{2} + 5 1 ^{2} - 4 4 ^{2}}{2 \cdot 2 6 \cdot 5 1}) = 59 ° 3 7^{'} 30 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{4 4 ^{2} + 5 1 ^{2} - 2 6 ^{2}}{2 \cdot 4 4 \cdot 5 1}) = 30 ° 3 9^{'} 1 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 59 ° 3 7^{'} 30 " - 30 ° 3 9^{'} 1 " = 89 ° 4 3^{'} 28 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{5 7 1 , 9 9}{6 0 , 5} = 9, 45

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{4 4 \cdot 2 6 \cdot 5 1}{4 \cdot 9 , 4 5 4 \cdot 6 0 , 5} = 25, 5

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 6 ^{2} + 2 \cdot 5 1 ^{2} - 4 4 ^{2}}{2} = 33, 978 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 1 ^{2} + 2 \cdot 4 4 ^{2} - 2 6 ^{2}}{2} = 45, 82 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 4 4 ^{2} + 2 \cdot 2 6 ^{2} - 5 1 ^{2}}{2} = 25, 608

Vypočítať ďaľší trojuholník