Trojuholník 5 10 12
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 5
b = 10
c = 12
Obsah trojuholníka: S = 24,54546022579
Obvod trojuholníka: o = 27
Semiperimeter (poloobvod): s = 13,5
Uhol ∠ A = α = 24,14768479965° = 24°8'49″ = 0,42114420015 rad
Uhol ∠ B = β = 54.99003678046° = 54°54'1″ = 0,95881921787 rad
Uhol ∠ C = γ = 100,95327841989° = 100°57'10″ = 1,76219584733 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 9,81878409032
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 4,90989204516
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 4,0910767043
Ťažnica: ta = 10,75987173957
Ťažnica: tb = 7,71436243103
Ťažnica: tc = 5,14878150705
Polomer vpísanej kružnice: r = 1,81881186858
Polomer opísanej kružnice: R = 6,11113233135
Súradnice vrcholov: A[12; 0] B[0; 0] C[2,875; 4,0910767043]
Ťažisko: T[4,95883333333; 1,36435890143]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[6; -1,16111514296]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[3,5; 1,81881186858]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 155,85331520035° = 155°51'11″ = 0,42114420015 rad
∠ B' = β' = 125.10996321954° = 125°5'59″ = 0,95881921787 rad
∠ C' = γ' = 79,04772158011° = 79°2'50″ = 1,76219584733 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=5 b=10 c=12
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=5+10+12=27
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=227=13,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=13,5(13,5−5)(13,5−10)(13,5−12) S=602,44=24,54
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=52⋅ 24,54=9,82 vb=b2 S=102⋅ 24,54=4,91 vc=c2 S=122⋅ 24,54=4,09
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 10⋅ 12102+122−52)=24°8′49" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 5⋅ 1252+122−102)=54°54′1" γ=180°−α−β=180°−24°8′49"−54°54′1"=100°57′10"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=13,524,54=1,82
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 1,818⋅ 13,55⋅ 10⋅ 12=6,11
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 102+2⋅ 122−52=10,759 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 122+2⋅ 52−102=7,714 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 52+2⋅ 102−122=5,148
Vypočítať ďaľší trojuholník