Trojuholník 5 13 13
Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 5
b = 13
c = 13
Obsah trojuholníka: S = 31,89333770554
Obvod trojuholníka: o = 31
Semiperimeter (poloobvod): s = 15,5
Uhol ∠ A = α = 22,17549784219° = 22°10'30″ = 0,3877026385 rad
Uhol ∠ B = β = 78,9132510789° = 78°54'45″ = 1,37772831343 rad
Uhol ∠ C = γ = 78,9132510789° = 78°54'45″ = 1,37772831343 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 12,75773508222
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 4,90766733931
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 4,90766733931
Ťažnica: ta = 12,75773508222
Ťažnica: tb = 7,39993242935
Ťažnica: tc = 7,39993242935
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,05876372294
Polomer opísanej kružnice: R = 6,62436322241
Súradnice vrcholov: A[13; 0] B[0; 0] C[0,96215384615; 4,90766733931]
Ťažisko: T[4,65438461538; 1,63655577977]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[6,5; 1,27437754277]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[2,5; 2,05876372294]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 157,82550215781° = 157°49'30″ = 0,3877026385 rad
∠ B' = β' = 101,0877489211° = 101°5'15″ = 1,37772831343 rad
∠ C' = γ' = 101,0877489211° = 101°5'15″ = 1,37772831343 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=5 b=13 c=13
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=5+13+13=31
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=231=15,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=15,5(15,5−5)(15,5−13)(15,5−13) S=1017,19=31,89
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=52⋅ 31,89=12,76 vb=b2 S=132⋅ 31,89=4,91 vc=c2 S=132⋅ 31,89=4,91
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 13⋅ 13132+132−52)=22°10′30" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 5⋅ 1352+132−132)=78°54′45" γ=180°−α−β=180°−22°10′30"−78°54′45"=78°54′45"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=15,531,89=2,06
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,058⋅ 15,55⋅ 13⋅ 13=6,62
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 132+2⋅ 132−52=12,757 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 132+2⋅ 52−132=7,399 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 52+2⋅ 132−132=7,399
Vypočítať ďaľší trojuholník