Trojuholník 5 30 30
Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 5
b = 30
c = 30
Obsah trojuholníka: S = 74,73991296444
Obvod trojuholníka: o = 65
Semiperimeter (poloobvod): s = 32,5
Uhol ∠ A = α = 9,56603836944° = 9°33'37″ = 0,16768601732 rad
Uhol ∠ B = β = 85,22198081528° = 85°13'11″ = 1,48773662402 rad
Uhol ∠ C = γ = 85,22198081528° = 85°13'11″ = 1,48773662402 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 29,89656518578
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 4,9832608643
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 4,9832608643
Ťažnica: ta = 29,89656518578
Ťažnica: tb = 15,41110350074
Ťažnica: tc = 15,41110350074
Polomer vpísanej kružnice: r = 2.32996655275
Polomer opísanej kružnice: R = 15,05223561801
Súradnice vrcholov: A[30; 0] B[0; 0] C[0,41766666667; 4,9832608643]
Ťažisko: T[10,13988888889; 1,66108695477]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[15; 1,2544363015]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[2,5; 2.32996655275]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 170,44396163056° = 170°26'23″ = 0,16768601732 rad
∠ B' = β' = 94,78801918472° = 94°46'49″ = 1,48773662402 rad
∠ C' = γ' = 94,78801918472° = 94°46'49″ = 1,48773662402 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=5 b=30 c=30
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=5+30+30=65
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=265=32,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=32,5(32,5−5)(32,5−30)(32,5−30) S=5585,94=74,74
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=52⋅ 74,74=29,9 vb=b2 S=302⋅ 74,74=4,98 vc=c2 S=302⋅ 74,74=4,98
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 30⋅ 30302+302−52)=9°33′37" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 5⋅ 3052+302−302)=85°13′11" γ=180°−α−β=180°−9°33′37"−85°13′11"=85°13′11"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=32,574,74=2,3
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,3⋅ 32,55⋅ 30⋅ 30=15,05
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 302+2⋅ 302−52=29,896 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 302+2⋅ 52−302=15,411 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 52+2⋅ 302−302=15,411
Vypočítať ďaľší trojuholník