Trojuholník 5 9 9
Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 5
b = 9
c = 9
Obsah trojuholníka: S = 21,61545205822
Obvod trojuholníka: o = 23
Semiperimeter (poloobvod): s = 11,5
Uhol ∠ A = α = 32,25552404263° = 32°15'19″ = 0,56329601465 rad
Uhol ∠ B = β = 73,87223797868° = 73°52'21″ = 1,28993162536 rad
Uhol ∠ C = γ = 73,87223797868° = 73°52'21″ = 1,28993162536 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 8,64658082329
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 4,80332267961
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 4,80332267961
Ťažnica: ta = 8,64658082329
Ťažnica: tb = 5,72327615711
Ťažnica: tc = 5,72327615711
Polomer vpísanej kružnice: r = 1,88795235289
Polomer opísanej kružnice: R = 4,68443509489
Súradnice vrcholov: A[9; 0] B[0; 0] C[1,38988888889; 4,80332267961]
Ťažisko: T[3,4632962963; 1,60110755987]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[4,5; 1,30112085969]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[2,5; 1,88795235289]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 147,74547595737° = 147°44'41″ = 0,56329601465 rad
∠ B' = β' = 106,12876202132° = 106°7'39″ = 1,28993162536 rad
∠ C' = γ' = 106,12876202132° = 106°7'39″ = 1,28993162536 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=5 b=9 c=9
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=5+9+9=23
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=223=11,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=11,5(11,5−5)(11,5−9)(11,5−9) S=467,19=21,61
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=52⋅ 21,61=8,65 vb=b2 S=92⋅ 21,61=4,8 vc=c2 S=92⋅ 21,61=4,8
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 9⋅ 992+92−52)=32°15′19" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 5⋅ 952+92−92)=73°52′21" γ=180°−α−β=180°−32°15′19"−73°52′21"=73°52′21"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=11,521,61=1,88
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 1,88⋅ 11,55⋅ 9⋅ 9=4,68
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 92+2⋅ 92−52=8,646 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 92+2⋅ 52−92=5,723 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 52+2⋅ 92−92=5,723
Vypočítať ďaľší trojuholník