Trojuholník 5.03 1.3 5.2
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 5,03
b = 1,3
c = 5,2
Obsah trojuholníka: S = 3,26994769573
Obvod trojuholníka: o = 11,53
Semiperimeter (poloobvod): s = 5,765
Uhol ∠ A = α = 75,3077480486° = 75°18'27″ = 1,31443634859 rad
Uhol ∠ B = β = 14,47774079233° = 14°28'39″ = 0,25326784354 rad
Uhol ∠ C = γ = 90,21551115907° = 90°12'54″ = 1,57545507323 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 1.32999908379
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 5,03299645497
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 1,25774911374
Ťažnica: ta = 2,83554496998
Ťažnica: tb = 5,0744243786
Ťažnica: tc = 2,5955274552
Polomer vpísanej kružnice: r = 0,56771252311
Polomer opísanej kružnice: R = 2.66000183243
Súradnice vrcholov: A[5,2; 0] B[0; 0] C[4,87702788462; 1,25774911374]
Ťažisko: T[3,35767596154; 0,41991637125]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[2,6; -0,01097615002]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[4,465; 0,56771252311]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 104,6932519514° = 104°41'33″ = 1,31443634859 rad
∠ B' = β' = 165,52325920767° = 165°31'21″ = 0,25326784354 rad
∠ C' = γ' = 89,78548884093° = 89°47'6″ = 1,57545507323 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=5,03 b=1,3 c=5,2
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=5,03+1,3+5,2=11,53
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=211,53=5,77
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=5,77(5,77−5,03)(5,77−1,3)(5,77−5,2) S=10,69=3,27
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=5,032⋅ 3,27=1,3 vb=b2 S=1,32⋅ 3,27=5,03 vc=c2 S=5,22⋅ 3,27=1,26
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 1,3⋅ 5,21,32+5,22−5,032)=75°18′27" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 5,03⋅ 5,25,032+5,22−1,32)=14°28′39" γ=180°−α−β=180°−75°18′27"−14°28′39"=90°12′54"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=5,773,27=0,57
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 0,567⋅ 5,7655,03⋅ 1,3⋅ 5,2=2,6
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 1,32+2⋅ 5,22−5,032=2,835 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 5,22+2⋅ 5,032−1,32=5,074 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 5,032+2⋅ 1,32−5,22=2,595
Vypočítať ďaľší trojuholník