Trojuholník 5.7 4 2
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 5,7
b = 4
c = 2
Obsah trojuholníka: S = 2.549999875
Obvod trojuholníka: o = 11,7
Semiperimeter (poloobvod): s = 5,85
Uhol ∠ A = α = 141,31878354832° = 141°19'4″ = 2,4666461521 rad
Uhol ∠ B = β = 26,01443520182° = 26°52″ = 0,45440360955 rad
Uhol ∠ C = γ = 12,66878124986° = 12°40'4″ = 0,22110950371 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 0,87771925439
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 1,2549999375
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 2.549999875
Ťažnica: ta = 1,37702189606
Ťažnica: tb = 3,77442548934
Ťažnica: tc = 4,82113068768
Polomer vpísanej kružnice: r = 0,42773502137
Polomer opísanej kružnice: R = 4,566000228
Súradnice vrcholov: A[2; 0] B[0; 0] C[5,12325; 2.549999875]
Ťažisko: T[2,37441666667; 0,83333329167]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[1; 4,44990022245]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[1,85; 0,42773502137]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 38,68221645168° = 38°40'56″ = 2,4666461521 rad
∠ B' = β' = 153,98656479818° = 153°59'8″ = 0,45440360955 rad
∠ C' = γ' = 167,33221875014° = 167°19'56″ = 0,22110950371 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=5,7 b=4 c=2
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=5,7+4+2=11,7
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=211,7=5,85
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=5,85(5,85−5,7)(5,85−4)(5,85−2) S=6,25=2,5
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=5,72⋅ 2,5=0,88 vb=b2 S=42⋅ 2,5=1,25 vc=c2 S=22⋅ 2,5=2,5
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 4⋅ 242+22−5,72)=141°19′4" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 5,7⋅ 25,72+22−42)=26°52" γ=180°−α−β=180°−141°19′4"−26°52"=12°40′4"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=5,852,5=0,43
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 0,427⋅ 5,855,7⋅ 4⋅ 2=4,56
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 42+2⋅ 22−5,72=1,37 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 22+2⋅ 5,72−42=3,774 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 5,72+2⋅ 42−22=4,821
Vypočítať ďaľší trojuholník